Bacalaureat Vara 2022 — Matematică M_mate-info — III2b

📖 Teorie necesară▾

Derivata radicalului cu radicand patratic

Folosită prin Formula derivării funcției compuse. Cei doi factori

2

— unul de la radical, altul de la radicand — se simplifică.

(x^{2} + a)^{'} = \frac{x}{x ^{2} + a}

Recunoașterea primitivei prin derivare inversă

Când integranda are forma

g^{'} (x)

pentru o funcție

g

cunoscută, primitiva e

g

însăși — fără a face substituție explicită.

\int g^{'} (x) d x = g (x) + C

Formula Leibniz-Newton

Aplicare standard după ce avem primitiva — diferența primitivei la capete.

\int_{a}^{b} f = F (b) - F (a)

Dacă vrei să aprofundezi aceste noțiuni, apasă pe una din ele:
metode de calcul la integrala definita · formula leibniz newton

📋 Barem explicat▾

1p

Simplific numitorul folosind expresia lui f

f (x) + x - 3 = x^{2} + 9

1p

Recunosc derivata radicalului

(x^{2} + 9)^{'} = \frac{x}{x ^{2} + 9}

1p

Identific primitiva imediata

F (x) = x^{2} + 9

1p

Calculez F la capete

F (4) = 5, F (0) = 3

1p

Aplic Leibniz-Newton

\int_{0}^{4} \frac{x}{x ^{2} + 9} d x = 2

R:

2

⚠️ Greșeala tipică▾

⚠️ Substitutie complicata in loc de recunoastere directa

Cea mai frecventă greșeală: vezi

\frac{x}{x ^{2} + 9}

și încerci substituția

u = x^{2} + 9

,

d u = 2 x d x

— funcționează dar pierzi timp și uiți să schimbi capetele. Recunoaște direct: numărătorul

x

este (jumătate din) derivata radicandului, deci primitiva e radicalul însuși.

GREȘIT ✗

f (x) = x^{2} + 9, d u = 2 x d x \Rightarrow \int \frac{1}{2 u} d u = u

CORECT ✓

\int_{0}^{4} \frac{x}{x ^{2} + 9} d x = x^{2} + 9_{0}^{4} = 5 - 3 = 2

✍️ Rezolvare de nota 10 (ca la examen)▾

f (x) + x - 3 = x^{2} + 9

\int_{0}^{4} \frac{x}{x ^{2} + 9} d x = x^{2} + 9_{0}^{4}

= 25 - 9

= 5 - 3 = 2

👨‍🏫 Pas cu pas, ca la tablă▾

Pasul 1. Simplific numitorul folosind expresia lui f

Aceeași tehnică ca la (a): mai întâi simplific. $f (x) + x - 3 = (3 - x + x^{2} + 9) + x - 3$ . Termenii se anulează: $- x + x = 0$ , $3 - 3 = 0$ . Rămâne $x^{2} + 9$ .

f (x) + x - 3 = x^{2} + 9

Pasul 2. Recunosc derivata radicalului

Întrebarea cheie: ce funcție are derivata $\frac{x}{x ^{2} + 9}$ ? Verific: $(x^{2} + 9)^{'} = \frac{1}{2 x ^{2} + 9} \cdot 2 x = \frac{x}{x ^{2} + 9}$ — exact integranda. Atenție! Cele două două-uri se simplifică.

F (x) = x^{2} + 9

Pasul 3. Aplic Leibniz-Newton si verific

$F (4) = 25 = 5$ , $F (0) = 9 = 3$ . Diferența: $5 - 3 = 2$ . Are sens? Integranda e pozitivă pe $[0, 4]$ (numărător $\geq 0$ , numitor $> 0$ ), deci integrala e pozitivă ✓.

\int_{0}^{4} \frac{x}{x ^{2} + 9} d x = 2

🏋️ Antrenamente▾

Alege nivelul potrivit ție. Dacă exercițiul principal ți-a ieșit din prima, sari direct la 🔴/🟣.

🟢 Nivel 1 — Încălziredeschide ▾

Calculați

\int_{0}^{3} \frac{x}{x ^{2} + 16} d x

.

📋 Barem explicat

1p

Recunosc primitiva imediata

F (x) = x^{2} + 16

2p

Calculez F la capete

F (3) = 25 = 5, F (0) = 16 = 4

2p

Aplic Leibniz-Newton

\int_{0}^{3} \frac{x}{x ^{2} + 16} d x = 5 - 4 = 1

R:

1

✍️ Rezolvare (ca la examen)

\int_{0}^{3} \frac{x}{x ^{2} + 16} d x = x^{2} + 16_{0}^{3}

= 9 + 16 - 0 + 16

= 5 - 4

= 1

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Recunosc primitiva

Aceeași formulă ca la principal: derivata lui $x^{2} + 16$ este $\frac{x}{x ^{2} + 16}$ .

F (x) = x^{2} + 16

Pasul 2. Calculez la capete

$F (3) = 25 = 5$ , $F (0) = 16 = 4$ .

F (3) - F (0) = 1

Pasul 3. Concluzia

Are sens? Integrandul $\geq 0$ pe $[0, 3]$ , deci integrala $\geq 0$ ✓.

\int_{0}^{3} \frac{x}{x ^{2} + 16} d x = 1

🔵 Nivel 2 — La fel ca la BACdeschide ▾

Calculați

\int_{0}^{1} 2 x \cdot e^{x^{2}} d x

.

📋 Barem explicat

1p

Recunosc derivata exponențialei compuse

(e^{x^{2}})^{'} = 2 x \cdot e^{x^{2}}

2p

Identific primitiva

F (x) = e^{x^{2}}

2p

Aplic Leibniz-Newton

F (1) - F (0) = e^{1} - e^{0} = e - 1

R:

e - 1

✍️ Rezolvare (ca la examen)

\int_{0}^{1} 2 x \cdot e^{x^{2}} d x = e^{x^{2}}_{0}^{1}

= e^{1} - e^{0}

= e - 1

\approx 1.718

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Recunosc primitiva

$(e^{x^{2}})^{'} = e^{x^{2}} \cdot 2 x$ — exact integranda. Deci $F (x) = e^{x^{2}}$ .

F (x) = e^{x^{2}}

Pasul 2. Aplic Leibniz-Newton

$F (1) - F (0) = e^{1} - e^{0} = e - 1$ .

\int_{0}^{1} 2 x e^{x^{2}} d x = e - 1

Pasul 3. Verific numeric

Are sens? $e - 1 \approx 1.718 > 0$ , integranda $\geq 0$ pe $[0, 1]$ ✓.

e - 1 > 0

🟠 Nivel 3 — Un pas mai susdeschide ▾

Calculați

\int_{1}^{e} \frac{ln x}{x} d x

.

📋 Barem explicat

1p

Recunosc primitiva ca jumatate din ln la pătrat

F (x) = \frac{ln ^{2} x}{2}

2p

Calculez F la capete

F (e) = \frac{1}{2}, F (1) = 0

2p

Aplic Leibniz-Newton

\int_{1}^{e} \frac{ln x}{x} d x = \frac{1}{2}

R:

\frac{1}{2}

✍️ Rezolvare (ca la examen)

\int_{1}^{e} \frac{ln x}{x} d x = \frac{ln ^{2} x}{2}_{1}^{e}

= \frac{ln ^{2} e}{2} - \frac{ln ^{2} 1}{2}

= \frac{1}{2} - 0

= \frac{1}{2}

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Recunosc primitiva

$f (x) = ln x$ , $f^{'} (x) = \frac{1}{x}$ . Am $u u^{'}$ , primitiva e $\frac{u ^{2}}{2}$ .

F (x) = \frac{ln ^{2} x}{2}

Pasul 2. Aplic Leibniz-Newton

$ln e = 1$ , $ln 1 = 0$ . $F (e) - F (1) = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$ .

\int_{1}^{e} \frac{ln x}{x} d x = \frac{1}{2}

Pasul 3. Concluzia

Are sens? Integrandul e pozitiv pe $(1, e]$ (logaritm pozitiv), aria pozitivă ✓.

\frac{1}{2} > 0

🔴 Nivel 4 — Pentru notă maredeschide ▾

Calculați

\int_{0}^{π /2} sin x cos x d x

.

📋 Barem explicat

1p

Recunosc primitiva

F (x) = \frac{sin ^{2} x}{2}

1p

Calculez F in pi pe 2

F (π /2) = \frac{1}{2}

1p

Calculez F in zero

F (0) = 0

2p

Aplic Leibniz-Newton

\int_{0}^{π /2} sin x cos x d x = \frac{1}{2}

R:

\frac{1}{2}

✍️ Rezolvare (ca la examen)

\int_{0}^{π /2} sin x cos x d x = \frac{sin ^{2} x}{2}_{0}^{π /2}

= \frac{sin ^{2} ( π /2 )}{2} - \frac{sin ^{2} 0}{2}

= \frac{1}{2} - 0

= \frac{1}{2}

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Recunosc primitiva

$f (x) = sin x$ , $f^{'} (x) = cos x$ . Am $u u^{'}$ , primitiva e $\frac{u ^{2}}{2} = \frac{sin ^{2} x}{2}$ .

F (x) = \frac{sin ^{2} x}{2}

Pasul 2. Aplic Leibniz-Newton

$sin (π /2) = 1$ , $sin 0 = 0$ . $F (π /2) - F (0) = \frac{1}{2}$ .

\int_{0}^{π /2} sin x cos x d x = \frac{1}{2}

Pasul 3. Concluzia

Are sens? Pe $[0, π /2]$ , atât $sin$ cât și $cos$ sunt $\geq 0$ , deci integranda $\geq 0$ și integrala $\geq 0$ ✓.

\frac{1}{2} > 0

🟣 Nivel 5 — Poli / Facultatea de matedeschide ▾

Calculați

\int_{1}^{e} \frac{1 + ln x}{x} d x

.

📋 Barem explicat

1p

Despart in suma de doua integrale

\int_{1}^{e} \frac{1 + ln x}{x} d x = \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{ln x}{x} d x

1p

Calculez prima integrala

\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x = ln x_{1}^{e} = 1

1p

Calculez a doua integrala

\int_{1}^{e} \frac{ln x}{x} d x = \frac{ln ^{2} x}{2}_{1}^{e} = \frac{1}{2}

2p

Adun rezultatele

1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

R:

\frac{3}{2}

✍️ Rezolvare (ca la examen)

\int_{1}^{e} \frac{1 + ln x}{x} d x = \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{ln x}{x} d x

= ln x_{1}^{e} + \frac{ln ^{2} x}{2}_{1}^{e}

= (1 - 0) + (\frac{1}{2} - 0)

= 1 + \frac{1}{2}

= \frac{3}{2}

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Despart in suma de integrale

$\frac{1 + ln x}{x} = \frac{1}{x} + \frac{ln x}{x}$ . Acum am două integrale cunoscute.

= \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{ln x}{x} d x

Pasul 2. Calculez fiecare integrala

Prima: $ln e - ln 1 = 1 - 0 = 1$ . A doua (din ant 3): $\frac{1}{2}$ .

1 + \frac{1}{2}

Pasul 3. Concluzia

Are sens? Suma a două arii pozitive — pozitivă ✓.

\int_{1}^{e} \frac{1 + ln x}{x} d x = \frac{3}{2}

2b. Integrala prin recunoasterea derivatei