Bacalaureat Vara 2022 — Matematică M_mate-info — III2c

📖 Teorie necesară▾

Teorema clestelui pentru siruri

Permite calculul limitei unui șir încadrat între două șiruri convergente la aceeași limită — fundamental pentru șirurile de integrale.

a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}, lim a_{n} = lim c_{n} = L \Rightarrow lim b_{n} = L

Monotonia integralei

Inegalitatea între funcții se păstrează după integrare pe același interval — fundamentală pentru a translata o margine pe integrandă într-o margine pe integrală.

g \leq h \Rightarrow \int_{a}^{b} g \leq \int_{a}^{b} h

Integrala lui x la n pe intervalul unitate

Calcul direct prin formula puterii — dă rezultat care tinde la zero pentru

n

mare.

\int_{0}^{1} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1}

Dacă vrei să aprofundezi aceste noțiuni, apasă pe una din ele:
proprietatile integralei definite · limita unui sir

📋 Barem explicat▾

1p

Stabilesc o margine inferioara pentru f pe interval

x \in [0, 1] \Rightarrow f (x) \geq 5

1p

Deduc o margine superioara pentru integrând

0 \leq \frac{x ^{n}}{f ( x )} \leq \frac{x ^{n}}{5}

1p

Integrez inegalitatea pe interval

0 \leq I_{n} \leq \frac{1}{5 ( n + 1 )}

1p

Calculez limita marginii superioare

n \to \infty lim \frac{1}{5 ( n + 1 )} = 0

1p

Aplic teorema clestelui

n \to \infty lim I_{n} = 0

R:

n \to \infty lim I_{n} = 0

⚠️ Greșeala tipică▾

⚠️ Tentativa de calcul direct sau folosirea unei margini prea slabe

Greșeala #1: încerci să calculezi explicit

I_{n}

— imposibil,

f

are radical complicat. Cheia e încadrarea, NU calculul. Greșeala #2: spui

f (x) \geq 1

— adevărat dar prea slab, dând o margine inutil de mare. Trebuie marginea cea mai mare posibilă.

GREȘIT ✗

f (x) \geq 1 \Rightarrow I_{n} \leq \int_{0}^{1} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} (margine slaba)

CORECT ✓

f (x) \geq 5 \Rightarrow I_{n} \leq \frac{1}{5 ( n + 1 )} \to 0 (margine optima)

✍️ Rezolvare de nota 10 (ca la examen)▾

x \in [0, 1] \Rightarrow f (x) = (3 - x) + x^{2} + 9 \geq 2 + 3 = 5

\Rightarrow 0 \leq \frac{x ^{n}}{f ( x )} \leq \frac{x ^{n}}{5}

\Rightarrow 0 \leq I_{n} \leq \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{n + 1} = \frac{1}{5 ( n + 1 )}

n \to \infty lim \frac{1}{5 ( n + 1 )} = 0 \Rightarrow n \to \infty lim I_{n} = 0

👨‍🏫 Pas cu pas, ca la tablă▾

Pasul 1. De ce nu pot calcula direct In

Prima reacție: încerc să calculez $I_{n}$ direct. Dar $f (x) = 3 - x + x^{2} + 9$ are radical — nicio primitivă elementară a lui $\frac{x ^{n}}{f ( x )}$ nu se vede. Schimb strategia: ÎNCADREZ și aplic teorema cleștelui.

Atenție! Pattern clasic la BAC: când vezi un șir de integrale și ți se cere DOAR limita, nu calcula — încadrează.

Pasul 2. Găsesc o margine inferioara cât mai mare pentru f

Pe $[0, 1]$ : $3 - x \geq 2$ (minim atins în $x = 1$ ) și $x^{2} + 9 \geq 9 = 3$ (minim atins în $x = 0$ ). Adunând: $f (x) \geq 5$ .

f (x) \geq 2 + 3 = 5, x \in [0, 1]

Pasul 3. Integrez inegalitatea si aplic clestele

Din $f \geq 5$ obțin $\frac{x ^{n}}{f ( x )} \leq \frac{x ^{n}}{5}$ . Integrez pe $[0, 1]$ : $0 \leq I_{n} \leq \frac{1}{5 ( n + 1 )}$ . Cum $\frac{1}{5 ( n + 1 )} \to 0$ , prin clește $I_{n} \to 0$ .

0 \leq I_{n} \leq \frac{1}{5 ( n + 1 )} \to 0

🏋️ Antrenamente▾

Alege nivelul potrivit ție. Dacă exercițiul principal ți-a ieșit din prima, sari direct la 🔴/🟣.

🟢 Nivel 1 — Încălziredeschide ▾

Calculați

n \to \infty lim \int_{0}^{1} x^{n} d x

.

📋 Barem explicat

1p

Determin primitiva

F (x) = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1}

2p

Calculez integrala

I_{n} = F (1) - F (0) = \frac{1}{n + 1}

2p

Calculez limita

n \to \infty lim \frac{1}{n + 1} = 0

R:

0

✍️ Rezolvare (ca la examen)

I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1}_{0}^{1}

= \frac{1}{n + 1} - 0

= \frac{1}{n + 1}

n \to \infty lim I_{n} = n \to \infty lim \frac{1}{n + 1} = 0

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Calculez integrala explicit

Aici nu am nevoie de clește — calculez direct prin formula puterii.

I_{n} = \frac{1}{n + 1}

Pasul 2. Calculez limita

Numitor $\to \infty$ , deci $\frac{1}{n + 1} \to 0$ .

n \to \infty lim I_{n} = 0

Pasul 3. Concluzia

Are sens? Da — pe $[0, 1)$ , $x^{n} \to 0$ , deci aria sub curba $x^{n}$ se contractă la zero.

I_{n} \to 0

🔵 Nivel 2 — La fel ca la BACdeschide ▾

Pentru

n \in N^{*}

, fie

I_{n} = \int_{0}^{1} \frac{x ^{n}}{1 + x} d x

. Arătați că

n \to \infty lim I_{n} = 0

.

📋 Barem explicat

1p

Stabilesc marginea numitorului

x \in [0, 1] \Rightarrow 1 + x \geq 1

2p

Marginez integranda

0 \leq \frac{x ^{n}}{1 + x} \leq x^{n}

2p

Integrez si aplic clestele

0 \leq I_{n} \leq \frac{1}{n + 1} \to 0 \Rightarrow I_{n} \to 0

R:

n \to \infty lim I_{n} = 0

✍️ Rezolvare (ca la examen)

x \in [0, 1] \Rightarrow 1 + x \geq 1 \Rightarrow \frac{1}{1 + x} \leq 1

0 \leq \frac{x ^{n}}{1 + x} \leq x^{n}

0 \leq I_{n} \leq \int_{0}^{1} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1}

n \to \infty lim \frac{1}{n + 1} = 0 \Rightarrow n \to \infty lim I_{n} = 0

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Construiesc inegalitatea

$1 + x \geq 1$ pe $[0, 1]$ , deci $\frac{1}{1 + x} \leq 1$ . Înmulțesc cu $x^{n} \geq 0$ :

0 \leq \frac{x ^{n}}{1 + x} \leq x^{n}

Pasul 2. Integrez inegalitatea

$0 \leq I_{n} \leq \frac{1}{n + 1}$ — încadrare între zero și un șir care tinde la zero.

0 \leq I_{n} \leq \frac{1}{n + 1}

Pasul 3. Aplic clestele

Are sens? Cleștele dă $I_{n} \to 0$ . ✓

n \to \infty lim I_{n} = 0

🟠 Nivel 3 — Un pas mai susdeschide ▾

Pentru

n \in N^{*}

, fie

I_{n} = \int_{0}^{1} \frac{x ^{n}}{2 + x ^{2}} d x

. Arătați că

n \to \infty lim I_{n} = 0

.

📋 Barem explicat

1p

Marginea numitorului

2 + x^{2} \geq 2

2p

Marginea integrandei

0 \leq \frac{x ^{n}}{2 + x ^{2}} \leq \frac{x ^{n}}{2}

2p

Integrez si aplic clestele

0 \leq I_{n} \leq \frac{1}{2 ( n + 1 )} \to 0

R:

n \to \infty lim I_{n} = 0

✍️ Rezolvare (ca la examen)

2 + x^{2} \geq 2 \Rightarrow \frac{1}{2 + x ^{2}} \leq \frac{1}{2}

0 \leq \frac{x ^{n}}{2 + x ^{2}} \leq \frac{x ^{n}}{2}

0 \leq I_{n} \leq \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n + 1} = \frac{1}{2 ( n + 1 )}

n \to \infty lim \frac{1}{2 ( n + 1 )} = 0 \Rightarrow n \to \infty lim I_{n} = 0

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Construiesc clestele

$x^{2} \geq 0$ , deci $2 + x^{2} \geq 2$ . Inversez: $\frac{1}{2 + x ^{2}} \leq \frac{1}{2}$ . Înmulțesc cu $x^{n}$ :

0 \leq \frac{x ^{n}}{2 + x ^{2}} \leq \frac{x ^{n}}{2}

Pasul 2. Integrez si calculez marginea

$0 \leq I_{n} \leq \frac{1}{2 ( n + 1 )}$ .

I_{n} \leq \frac{1}{2 ( n + 1 )}

Pasul 3. Aplic clestele

Are sens? $\frac{1}{2 ( n + 1 )} \to 0$ , deci $I_{n} \to 0$ ✓.

n \to \infty lim I_{n} = 0

🔴 Nivel 4 — Pentru notă maredeschide ▾

Pentru

n \in N^{*}

, fie

I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} e^{x} d x

. Arătați că

n \to \infty lim I_{n} = 0

.

📋 Barem explicat

1p

Marginea exponențialei pe interval

x \in [0, 1] \Rightarrow e^{x} \leq e

1p

Marginea integrandei

0 \leq x^{n} e^{x} \leq e \cdot x^{n}

1p

Integrez

0 \leq I_{n} \leq \frac{e}{n + 1}

2p

Aplic clestele

n \to \infty lim \frac{e}{n + 1} = 0 \Rightarrow I_{n} \to 0

R:

n \to \infty lim I_{n} = 0

✍️ Rezolvare (ca la examen)

x \in [0, 1] \Rightarrow e^{x} \leq e

0 \leq x^{n} e^{x} \leq e \cdot x^{n}

0 \leq I_{n} \leq e \int_{0}^{1} x^{n} d x

0 \leq I_{n} \leq \frac{e}{n + 1}

n \to \infty lim \frac{e}{n + 1} = 0 \Rightarrow n \to \infty lim I_{n} = 0

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Marginez exponențială

$e^{x}$ crescătoare, max pe $[0, 1]$ e $e$ . Deci $x^{n} e^{x} \leq e \cdot x^{n}$ .

0 \leq x^{n} e^{x} \leq e \cdot x^{n}

Pasul 2. Integrez inegalitatea

$0 \leq I_{n} \leq e \cdot \frac{1}{n + 1} = \frac{e}{n + 1}$ .

I_{n} \leq \frac{e}{n + 1}

Pasul 3. Aplic clestele

Atenție! $e$ e o constantă, deci $\frac{e}{n + 1} \to 0$ . Cleștele dă $I_{n} \to 0$ .

n \to \infty lim I_{n} = 0

🟣 Nivel 5 — Poli / Facultatea de matedeschide ▾

Pentru

n \in N^{*}

, fie

I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} sin x d x

. Arătați că

n \to \infty lim I_{n} = 0

.

📋 Barem explicat

1p

Marginile sinusului pe interval pozitiv

x \in [0, 1] \subset [0, π] \Rightarrow 0 \leq sin x \leq 1

1p

Marginea integrandei

0 \leq x^{n} sin x \leq x^{n}

1p

Integrez

0 \leq I_{n} \leq \frac{1}{n + 1}

2p

Aplic clestele

n \to \infty lim \frac{1}{n + 1} = 0 \Rightarrow I_{n} \to 0

R:

n \to \infty lim I_{n} = 0

✍️ Rezolvare (ca la examen)

x \in [0, 1] \subset [0, π /2] \Rightarrow 0 \leq sin x \leq 1

0 \leq x^{n} sin x \leq x^{n}

0 \leq I_{n} \leq \int_{0}^{1} x^{n} d x

0 \leq I_{n} \leq \frac{1}{n + 1}

n \to \infty lim \frac{1}{n + 1} = 0 \Rightarrow n \to \infty lim I_{n} = 0

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Marginez sinusul

Pe $[0, 1] \subset [0, π /2]$ , sinusul e crescător de la $0$ la $sin 1 < 1$ . Deci $0 \leq sin x \leq 1$ .

0 \leq x^{n} sin x \leq x^{n}

Pasul 2. Integrez inegalitatea

$0 \leq I_{n} \leq \frac{1}{n + 1}$ .

I_{n} \leq \frac{1}{n + 1}

Pasul 3. Aplic clestele

Are sens? $\frac{1}{n + 1} \to 0$ , deci $I_{n} \to 0$ ✓.

n \to \infty lim I_{n} = 0

2c. Limita unui sir de integrale prin teorema clestelui