Bacalaureat Vara 2022 — Matematică M_mate-info — III2a

📖 Teorie necesară▾

Formula Leibniz-Newton

Permite evaluarea integralei definite prin diferența primitivei la capete — fundamentală pentru toate calculele de integrale definite la BAC.

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

Liniaritatea integralei

Permite separarea integralei sumei în sumă de integrale și scoaterea constantelor în față.

\int (α f + β g) = α \int f + β \int g

Primitiva polinomială

Aplicând formula puterii cu exponentul

1

, obținem primitiva

\frac{x ^{2}}{2}

pentru

x

.

\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C

Dacă vrei să aprofundezi aceste noțiuni, apasă pe una din ele:
formula leibniz newton · primitivele functiilor uzuale

📋 Barem explicat▾

1p

Simplific expresia de sub integrala

f (x) - x^{2} + 9 = 3 - x

1p

Determin primitiva polinomului

F (x) = 3 x - \frac{x ^{2}}{2}

2p

Calculez F la cele doua capete

F (5) = \frac{5}{2}, F (1) = \frac{5}{2}

1p

Aplic Leibniz-Newton

\int_{1}^{5} (3 - x) d x = F (5) - F (1) = 0

R:

0

⚠️ Greșeala tipică▾

⚠️ Pierderea unui termen la calculul lui F la capete

Greșeala #1: aplici Leibniz-Newton dar uiți să calculezi

F (a)

— pui doar

F (b)

. Greșeala #2: la

F (1) = 3 - \frac{1}{2}

uiți unul din termeni. Aici răspunsul

0

vine din echilibrul exact al celor două integrale, deci orice eroare aritmetică te scoate din răspuns.

GREȘIT ✗

\int_{1}^{5} (3 - x) d x = 3 \cdot 5 - \frac{25}{2} = - \frac{19}{2}

CORECT ✓

F (5) - F (1) = \frac{5}{2} - \frac{5}{2} = 0

✍️ Rezolvare de nota 10 (ca la examen)▾

f (x) - x^{2} + 9 = 3 - x

\int_{1}^{5} (3 - x) d x = (3 x - \frac{x ^{2}}{2})_{1}^{5}

= (15 - \frac{25}{2}) - (3 - \frac{1}{2})

= \frac{5}{2} - \frac{5}{2} = 0

👨‍🏫 Pas cu pas, ca la tablă▾

Pasul 1. Simplific expresia de sub integrala

Primul pas la o integrală e ÎNTOTDEAUNA: pot simplifică? Aici da. $f (x) - x^{2} + 9 = (3 - x + x^{2} + 9) - x^{2} + 9 = 3 - x$ . Radicalul s-a anulat — exact ce voia problema.

Atenție! Mulți elevi se sperie de radical și încearcă să-l integreze. NU. Simplifici prima dată, vezi ce rămâne, abia apoi calculezi.

f (x) - x^{2} + 9 = 3 - x

Pasul 2. Determin primitiva si aplic Leibniz-Newton

$F (x) = 3 x - \frac{x ^{2}}{2}$ . Verific: $F^{'} (x) = 3 - x$ ✓. Calculez la capete: $F (5) = 15 - \frac{25}{2} = \frac{5}{2}$ , $F (1) = 3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ .

F (5) = F (1) = \frac{5}{2}

Pasul 3. Obțin rezultatul si interpretez

$F (5) - F (1) = 0$ . Are sens? Da! Funcția $g (x) = 3 - x$ se anulează în $x = 3$ , e pozitivă pe $[1, 3]$ și negativă pe $[3, 5]$ . Cele două arii (peste și sub axă) sunt egale — de aici rezultatul zero.

\int_{1}^{5} (f (x) - x^{2} + 9) d x = 0

🏋️ Antrenamente▾

Alege nivelul potrivit ție. Dacă exercițiul principal ți-a ieșit din prima, sari direct la 🔴/🟣.

🟢 Nivel 1 — Încălziredeschide ▾

Calculați

\int_{0}^{2} (4 - x) d x

.

📋 Barem explicat

1p

Determin primitiva

F (x) = 4 x - \frac{x ^{2}}{2}

2p

Calculez F la cele doua capete

F (2) = 8 - 2 = 6, F (0) = 0

2p

Aplic Leibniz-Newton

\int_{0}^{2} (4 - x) d x = 6 - 0 = 6

R:

6

✍️ Rezolvare (ca la examen)

\int_{0}^{2} (4 - x) d x = (4 x - \frac{x ^{2}}{2})_{0}^{2}

= (8 - 2) - 0

= 6

\Rightarrow \int_{0}^{2} (4 - x) d x = 6

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Determin primitiva

Suma primitivelor: $\int 4 = 4 x$ , $\int x = \frac{x ^{2}}{2}$ . Deci $F (x) = 4 x - \frac{x ^{2}}{2}$ .

F (x) = 4 x - \frac{x ^{2}}{2}

Pasul 2. Aplic Leibniz-Newton

$F (2) - F (0) = (8 - 2) - 0 = 6$ .

\int_{0}^{2} (4 - x) d x = 6

Pasul 3. Verific cu interpretare geometrica

Are sens? Aria sub linia $y = 4 - x$ pe $[0, 2]$ — un trapez cu baze $4, 2$ și înălțime $2$ , deci $(4 + 2) \cdot 2/2 = 6$ ✓.

A_{trapez} = 6

🔵 Nivel 2 — La fel ca la BACdeschide ▾

Calculați

\int_{0}^{3} (2 x + 1) d x

.

📋 Barem explicat

1p

Determin primitiva

F (x) = x^{2} + x

2p

Calculez F la capete

F (3) = 9 + 3 = 12, F (0) = 0

2p

Aplic Leibniz-Newton

\int_{0}^{3} (2 x + 1) d x = 12

R:

12

✍️ Rezolvare (ca la examen)

\int_{0}^{3} (2 x + 1) d x = (x^{2} + x)_{0}^{3}

= (9 + 3) - 0

= 12

\Rightarrow \int_{0}^{3} (2 x + 1) d x = 12

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Identific primitivele

$\int 2 x = x^{2}$ (derivez înapoi: $(x^{2})^{'} = 2 x$ ✓), $\int 1 = x$ . Deci $F (x) = x^{2} + x$ .

F (x) = x^{2} + x

Pasul 2. Calculez la capete

$F (3) = 9 + 3 = 12$ , $F (0) = 0$ .

F (3) - F (0) = 12

Pasul 3. Concluzia

Are sens? Da, integranda $2 x + 1 > 0$ pe $[0, 3]$ , deci aria e pozitivă.

\int_{0}^{3} (2 x + 1) d x = 12

🟠 Nivel 3 — Un pas mai susdeschide ▾

Calculați

\int_{- 1}^{2} (x^{2} - 1) d x

.

📋 Barem explicat

1p

Determin primitiva

F (x) = \frac{x ^{3}}{3} - x

2p

Calculez F la cele doua capete

F (2) = \frac{8}{3} - 2 = \frac{2}{3}, F (- 1) = - \frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}

2p

Aplic Leibniz-Newton

\int_{- 1}^{2} (x^{2} - 1) d x = 0

R:

0

✍️ Rezolvare (ca la examen)

\int_{- 1}^{2} (x^{2} - 1) d x = (\frac{x ^{3}}{3} - x)_{- 1}^{2}

= (\frac{8}{3} - 2) - (- \frac{1}{3} + 1)

= \frac{2}{3} - \frac{2}{3}

= 0

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Determin primitiva si calculez la capete

$F (x) = \frac{x ^{3}}{3} - x$ . La $x = - 1$ : $F (- 1) = - \frac{1}{3} - (- 1) = - \frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$ . Atenție la semne!

F (2) = \frac{2}{3}, F (- 1) = \frac{2}{3}

Pasul 2. Aplic Leibniz-Newton

$F (2) - F (- 1) = \frac{2}{3} - \frac{2}{3} = 0$ .

\int_{- 1}^{2} (x^{2} - 1) d x = 0

Pasul 3. Interpretare geometrica

Are sens? Pe $[- 1, 1]$ integranda e $\leq 0$ (sub axă), pe $[1, 2]$ e $\geq 0$ (peste axă). Cele două arii se compensează exact.

A_{[- 1, 1]} = A_{[1, 2]}

🔴 Nivel 4 — Pentru notă maredeschide ▾

Calculați

\int_{1}^{3} (x^{3} - 4 x) d x

.

📋 Barem explicat

1p

Determin primitiva

F (x) = \frac{x ^{4}}{4} - 2 x^{2}

1p

Calculez F la primul capăt

F (3) = \frac{81}{4} - 18

1p

Calculez F la al doilea capăt

F (1) = \frac{1}{4} - 2

2p

Aplic Leibniz-Newton si grupez

\int_{1}^{3} (x^{3} - 4 x) d x = \frac{80}{4} - 16 = 4

R:

4

✍️ Rezolvare (ca la examen)

\int_{1}^{3} (x^{3} - 4 x) d x = (\frac{x ^{4}}{4} - 2 x^{2})_{1}^{3}

= (\frac{81}{4} - 18) - (\frac{1}{4} - 2)

= \frac{80}{4} - 16

= 20 - 16

= 4

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Determin primitiva si o verific

$F (x) = \frac{x ^{4}}{4} - 2 x^{2}$ . Verific: $F^{'} (x) = x^{3} - 4 x$ ✓.

F (x) = \frac{x ^{4}}{4} - 2 x^{2}

Pasul 2. Calculez si grupez termenii

Grupez fracțiile separat de termenii întregi: $\frac{81}{4} - \frac{1}{4} = 20$ și $- 18 - (- 2) = - 16$ .

20 - 16 = 4

Pasul 3. Concluzia

Are sens? Pe $[1, 3]$ integranda $x^{3} - 4 x$ are zero în $x = 2$ și e $> 0$ pentru $x > 2$ . Aria neta dă rezultatul $4$ .

\int_{1}^{3} (x^{3} - 4 x) d x = 4

🟣 Nivel 5 — Poli / Facultatea de matedeschide ▾

Calculați

\int_{0}^{1} (e^{x} - x) d x

.

📋 Barem explicat

1p

Determin primitiva exponențialei

\int e^{x} d x = e^{x}

1p

Determin primitiva polinomului

\int x d x = \frac{x ^{2}}{2}

1p

Combin in primitiva totala

F (x) = e^{x} - \frac{x ^{2}}{2}

2p

Aplic Leibniz-Newton

F (1) - F (0) = (e - \frac{1}{2}) - 1 = e - \frac{3}{2}

R:

e - \frac{3}{2}

✍️ Rezolvare (ca la examen)

\int_{0}^{1} (e^{x} - x) d x = (e^{x} - \frac{x ^{2}}{2})_{0}^{1}

= (e^{1} - \frac{1}{2}) - (e^{0} - 0)

= e - \frac{1}{2} - 1

= e - \frac{3}{2}

\approx 1.218

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Determin primitiva totala

$\int e^{x} = e^{x}$ (auto-primitiva!), $\int x = \frac{x ^{2}}{2}$ . $F (x) = e^{x} - \frac{x ^{2}}{2}$ .

F (x) = e^{x} - \frac{x ^{2}}{2}

Pasul 2. Aplic Leibniz-Newton

$F (1) = e - \frac{1}{2}$ , $F (0) = e^{0} - 0 = 1$ . Diferența: $e - \frac{1}{2} - 1 = e - \frac{3}{2}$ .

F (1) - F (0) = e - \frac{3}{2}

Pasul 3. Verific numeric

Are sens? $e \approx 2.718$ , deci $e - 1.5 \approx 1.218 > 0$ . Pe $[0, 1]$ integranda $e^{x} - x$ e pozitivă (verific: $e^{x} \geq 1 + x > x$ ), deci integrala e pozitivă ✓.

\int_{0}^{1} (e^{x} - x) d x \approx 1.218

2a. Integrala definita prin simplificare