Bacalaureat Vara 2022 — Matematică M_mate-info — III1c

📖 Teorie necesară▾

Teorema lui Darboux pentru funcții continue

O funcție continuă pe un interval ia toate valorile dintre limitele sale la capete. Aici dă existența soluției

x_{1}

pe ramura crescătoare.

f continu \overset{a}{˘}, f (a) < m < f (b) \Rightarrow \exists c \in (a, b)

Strict monotonie implică injectivitate

O funcție strict monotonă pe un interval este injectivă, deci ecuația

f (x) = m

are CEL MULT o soluție acolo. Combinată cu existența, dă unicitatea.

f strict monoton \overset{a}{˘} \Rightarrow f injectiv \overset{a}{˘}

Comparatia exponențialei cu polinomul

La

+ \infty

exponențiala domină orice polinom, deci

\frac{x}{e ^{x}} \to 0

. La

- \infty

exponențiala devine neglijabilă față de termenul liniar.

x \to + \infty lim \frac{x ^{n}}{e ^{x}} = 0

Dacă vrei să aprofundezi aceste noțiuni, apasă pe una din ele:
proprietatile functiilor continue pe interval · aplicatii ale derivatelor studiul functiilor

📋 Barem explicat▾

1p

Calculez limita lui f la minus infinit folosind ca exponențială tinde la zero

x \to - \infty lim \frac{x}{e ^{x} - x} = x \to - \infty lim \frac{x}{- x} = - 1 \Rightarrow - \infty lim f = 1

1p

Calculez limita la plus infinit folosind dominanta exponențialei

x \to + \infty lim \frac{x}{e ^{x} - x} = 0 \Rightarrow + \infty lim f = 2

1p

Folosesc maximul global din punctul b

f (1) = 2 + \frac{1}{e - 1} > 2

1p

Pe ramura crescătoare aplic Darboux

f ((- \infty, 1]) = (1, f (1)] \supset (1, 2] \Rightarrow \exists! x_{1} \in (- \infty, 1] cu f (x_{1}) = m

1p

Pe ramura descrescătoare arăt ca f este strict mai mare decât doi

x > 1 \Rightarrow f (x) > 2 \geq m \Rightarrow nicio solutie pe (1, + \infty)

R:

Solutie unica pentru orice m \in (1, 2]

⚠️ Greșeala tipică▾

⚠️ Uitarea verificării ramurii descrescătoare

Mulți elevi arată că pe

(- \infty, 1]

există o soluție unică și se opresc acolo, fără să verifice că pe

[1, + \infty)

NU mai există altă soluție. Atenție! Trebuie întotdeauna verificate AMBELE ramuri când

f

are un maxim — altfel poți pierde o soluție sau o poți număra de două ori. Aici, pe

[1, + \infty)

,

f

scade strict de la

f (1)

la

2

(limita la

+ \infty

, neatinsă), deci

f (x) > 2 \geq m

pentru orice

x > 1

, ceea ce înseamnă că NU există nicio soluție pe această ramură.

GREȘIT ✗

f ↗ pe (- \infty, 1] \Rightarrow o singura solutie (lipseste verificarea pe [1, + \infty))

CORECT ✓

f ↗ (- \infty, 1] \Rightarrow \exists! x_{1}, f ↘ [1, + \infty), f (x) > 2 \geq m \Rightarrow nicio solutie aici

✍️ Rezolvare de nota 10 (ca la examen)▾

x \to - \infty lim f (x) = 2 + x \to - \infty lim \frac{x}{e ^{x} - x} = 2 + (- 1) = 1

x \to + \infty lim f (x) = 2 + 0 = 2, f (1) = 2 + \frac{1}{e - 1}

f ↗ (- \infty, 1] continuu \Rightarrow f ((- \infty, 1]) = (1, f (1)] \supset (1, 2]

\Rightarrow \forall m \in (1, 2], \exists! x_{1} \in (- \infty, 1] : f (x_{1}) = m

f ↘ [1, + \infty), f (x) > 2 \geq m \Rightarrow nicio solutie pe (1, + \infty)

👨‍🏫 Pas cu pas, ca la tablă▾

Pasul 1. Stabilesc capetele intervalului de valori

Ca să folosesc Darboux, trebuie să știu între ce valori ia $f$ . Începem cu limitele la capete și cu maximul găsit la b).

La $- \infty$ : exponențiala $e^{x} \to 0$ , deci $e^{x} - x \approx - x \to + \infty$ . Atunci $\frac{x}{e ^{x} - x} \approx \frac{x}{- x} = - 1$ . Are sens? Da — pune $x = - 100$ și obții $\frac{- 100}{e ^{- 100} + 100} \approx - 1$ .

x \to - \infty lim f (x) = 2 - 1 = 1, x \to + \infty lim f (x) = 2 + 0 = 2, f (1) = 2 + \frac{1}{e - 1}

Pasul 2. Aplic Darboux pe ramura crescătoare

Din b) știu că $f ↗$ pe $(- \infty, 1]$ continuu. Deci $f$ ia TOATE valorile din intervalul $(lim_{- \infty} f, f (1)] = (1, f (1)]$ .

Acum, pentru orice $m \in (1, 2]$ avem $m \in (1, 2] \subset (1, f (1)]$ deoarece $f (1) > 2$ . Conform Darboux există $x_{1} \in (- \infty, 1]$ cu $f (x_{1}) = m$ , iar din strict monotonie acest $x_{1}$ este UNIC pe această ramură.

\forall m \in (1, 2], \exists! x_{1} \in (- \infty, 1] : f (x_{1}) = m

Pasul 99. Tabelul de variație al funcției f

Folosesc semnul derivatei $f^{'} (x) = \frac{e ^{x} ( 1 - x )}{( e ^{x} - x ) ^{2}}$ calculat la III.1.a. Numitorul $(e^{x} - x)^{2} > 0$ și $e^{x} > 0$ , deci semnul lui $f^{'}$ coincide cu semnul lui $1 - x$ . Calculez și limitele la capete: $x \to - \infty lim f (x) = 1$ (deoarece $\frac{x}{e ^{x} - x} \to - 1$ ) și $x \to + \infty lim f (x) = 2$ (deoarece $\frac{x}{e ^{x} - x} \to 0$ ). În punctul $x = 1$ obțin $f (1) = 2 + \frac{1}{e - 1}$ .

x f^{'} (x) f (x) - \infty 1 + ↗ 10 2 + \frac{1}{e - 1} - ↘ + \infty 2

Tabelul arată că pe intervalul $(- \infty, 1]$ funcția $f$ este continuă și strict crescătoare, deci ia toate valorile din $(1, 2 + \frac{1}{e - 1}]$ . Cum $2 + \frac{1}{e - 1} > 2$ , intervalul $(1, 2]$ este inclus în această imagine, deci pentru orice $m \in (1, 2]$ există un unic $x_{1} \in (- \infty, 1]$ cu $f (x_{1}) = m$ . Pe intervalul $[1, + \infty)$ , funcția scade strict de la $f (1) = 2 + \frac{1}{e - 1}$ spre limita $2$ , dar nu o atinge — adică $f (x) > 2 \geq m$ pentru orice $x \geq 1$ , deci nu există soluție pe acest interval. Concluzie: pentru orice $m \in (1, 2]$ , ecuația $f (x) = m$ are exact o soluție reală.

Pasul 4. Verific ca pe ramura descrescătoare nu exista alte soluții

Atenție! Mulți elevi se opresc aici și ratează un punct. Trebuie să arăt că pe $[1, + \infty)$ nu există nicio altă soluție. $f ↘$ de la $f (1)$ la $2$ (limita, neatinsă), deci $f (x) > 2$ strict pentru orice $x \geq 1$ .

Cum $m \leq 2 < f (x)$ , ecuația $f (x) = m$ NU are nicio soluție pe $(1, + \infty)$ . Concluzie: există exact o singură soluție reală pentru orice $m \in (1, 2]$ .

x \geq 1 \Rightarrow f (x) > 2 \geq m \Rightarrow nicio solutie pe [1, + \infty)

🏋️ Antrenamente▾

Alege nivelul potrivit ție. Dacă exercițiul principal ți-a ieșit din prima, sari direct la 🔴/🟣.

🟢 Nivel 1 — Încălziredeschide ▾

Arătați că ecuația

x^{3} + x = m

are exact o soluție reală pentru orice

m \in R

.

📋 Barem explicat

1p

Notez f(x) si calculez derivata

f (x) = x^{3} + x, f^{'} (x) = 3 x^{2} + 1

2p

Arăt ca derivata e mereu pozitivă

3 x^{2} + 1 > 0, \forall x \in R

2p

Concluzie injectivitate plus surjectivitate

f ↗ R, \pm \infty lim f = \pm \infty \Rightarrow solutie unica

R:

Solutie unica

✍️ Rezolvare (ca la examen)

f (x) = x^{3} + x \Rightarrow f^{'} (x) = 3 x^{2} + 1

3 x^{2} + 1 \geq 1 > 0 \Rightarrow f strict crescatoare pe R

x \to - \infty lim f = - \infty, x \to + \infty lim f = + \infty

\Rightarrow f bijectie de la R la R \Rightarrow solutie unica

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Verific monotonia stricta

$f^{'} (x) = 3 x^{2} + 1$ . Cum $x^{2} \geq 0$ , $3 x^{2} + 1 \geq 1 > 0$ . Deci $f$ strict crescătoare.

f^{'} (x) > 0 \forall x

Pasul 2. Limitele la capete

$x^{3}$ domină, deci $f \to - \infty$ la $- \infty$ și $f \to + \infty$ la $+ \infty$ .

x \to \pm \infty lim f (x) = \pm \infty

Pasul 99. Tabelul de variație al funcției g

Notez $g : R \to R$ , $g (x) = x^{3} + x$ . Calculez derivata: $g^{'} (x) = 3 x^{2} + 1$ . Cum $3 x^{2} \geq 0$ , obțin $g^{'} (x) \geq 1 > 0$ pentru orice $x \in R$ , deci $g$ este strict crescătoare pe întreg $R$ . Calculez și limitele la capete: $x \to - \infty lim g (x) = - \infty$ și $x \to + \infty lim g (x) = + \infty$ .

x g^{'} (x) g (x) - \infty - \infty + ↗ + \infty + \infty

Tabelul arată că $g$ este continuă și strict crescătoare pe $R$ , deci este bijectivă: pentru orice $m \in R$ există un unic $x \in R$ cu $g (x) = m$ , adică ecuația $x^{3} + x = m$ are exact o soluție reală.

Pasul 4. Bijectie si concluzie

$f$ continuă strict crescătoare cu imaginea $R$ — bijecție. Are sens? Da, orice $m \in R$ are exact o preimagine.

\forall m \in R, \exists! x

🔵 Nivel 2 — La fel ca la BACdeschide ▾

Arătați că ecuația

x + e^{x} = m

are exact o soluție reală pentru orice

m \in R

.

📋 Barem explicat

1p

Notez f si calculez derivata

f (x) = x + e^{x}, f^{'} (x) = 1 + e^{x}

2p

Arăt strict monotonia

f^{'} (x) > 0 \forall x \Rightarrow f ↗

2p

Limitele si concluzia

x \to - \infty lim f = - \infty, x \to + \infty lim f = + \infty

R:

Solutie unica

✍️ Rezolvare (ca la examen)

f (x) = x + e^{x} \Rightarrow f^{'} (x) = 1 + e^{x}

e^{x} > 0 \Rightarrow f^{'} (x) > 1 > 0 \Rightarrow f ↗ R

x \to - \infty lim f = - \infty, x \to + \infty lim f = + \infty

\Rightarrow f : R \to R bijectie \Rightarrow solutie unica

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Stabilesc strict monotonia

$f^{'} (x) = 1 + e^{x} > 1 > 0$ pentru orice $x$ . Deci $f$ strict crescătoare.

f^{'} (x) > 1

Pasul 2. Calculez limitele

La $- \infty$ : $x \to - \infty$ , $e^{x} \to 0$ , deci $f \to - \infty$ . La $+ \infty$ : ambii termeni $\to + \infty$ .

f (R) = R

Pasul 99. Tabelul de variație al funcției g

Notez $g : R \to R$ , $g (x) = x + e^{x}$ . Calculez derivata: $g^{'} (x) = 1 + e^{x} > 0$ pentru orice $x \in R$ , deci $g$ este strict crescătoare pe $R$ . Limitele: $x \to - \infty lim g (x) = - \infty + 0 = - \infty$ și $x \to + \infty lim g (x) = + \infty$ .

x g^{'} (x) g (x) - \infty - \infty + ↗ + \infty + \infty

Tabelul arată că $g$ este continuă și strict crescătoare pe $R$ , deci pentru orice $m \in R$ ecuația $x + e^{x} = m$ are exact o soluție reală.

Pasul 4. Concluzia

Are sens? $f$ continuă strict crescătoare cu imagine $R$ — bijecție. Pentru orice $m$ există exact un $x$ .

\forall m \in R, \exists! x

🟠 Nivel 3 — Un pas mai susdeschide ▾

Arătați că ecuația

ln x + x = m

are exact o soluție în

(0, + \infty)

pentru orice

m \in R

.

📋 Barem explicat

1p

Notez f si calculez derivata

f (x) = ln x + x, f^{'} (x) = \frac{1}{x} + 1

2p

Arăt strict monotonia pe domeniul deschis

x > 0 \Rightarrow f^{'} (x) > 0 \Rightarrow f ↗

2p

Limitele si concluzia

x \to 0^{+} lim f = - \infty, x \to + \infty lim f = + \infty

R:

Solutie unica in (0, + \infty)

✍️ Rezolvare (ca la examen)

f (x) = ln x + x, x > 0

f^{'} (x) = \frac{1}{x} + 1 > 0 \Rightarrow f ↗ (0, + \infty)

x \to 0^{+} lim f (x) = - \infty + 0 = - \infty

x \to + \infty lim f (x) = + \infty

\Rightarrow f ((0, + \infty)) = R \Rightarrow solutie unica

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Strict monotonia

$f^{'} (x) = \frac{1}{x} + 1$ . Pe $(0, + \infty)$ , $\frac{1}{x} > 0$ , deci $f^{'} > 1 > 0$ .

f^{'} (x) > 1

Pasul 2. Limitele la capete

$lim_{0^{+}} ln x = - \infty$ , deci $f \to - \infty$ la $0^{+}$ . La $+ \infty$ , ambii termeni $\to + \infty$ .

f ((0, + \infty)) = R

Pasul 99. Tabelul de variație al funcției g

Notez $g : (0, + \infty) \to R$ , $g (x) = ln x + x$ . Calculez derivata: $g^{'} (x) = \frac{1}{x} + 1 > 0$ pentru orice $x > 0$ , deci $g$ este strict crescătoare pe $(0, + \infty)$ . Limitele: $x ↘ 0 lim g (x) = - \infty + 0 = - \infty$ și $x \to + \infty lim g (x) = + \infty$ .

x g^{'} (x) g (x) 0 - \infty + ↗ + \infty + \infty

Tabelul arată că $g$ este continuă și strict crescătoare pe $(0, + \infty)$ , deci pentru orice $m \in R$ ecuația $ln x + x = m$ are exact o soluție în $(0, + \infty)$ .

Pasul 4. Concluzia

Are sens? Da — funcția continuă strict crescătoare cu imagine $R$ e o bijecție de la $(0, + \infty)$ la $R$ .

\forall m \in R, \exists! x \in (0, + \infty)

🔴 Nivel 4 — Pentru notă maredeschide ▾

Determinați câte soluții reale are ecuația

x^{3} - 12 x = 0

.

📋 Barem explicat

1p

Factorizez prin scoatere de factor comun

x^{3} - 12 x = x (x^{2} - 12)

1p

Aplic produs zero

x = 0 sau x^{2} - 12 = 0

1p

Rezolv ecuația patratica

x^{2} = 12 \Rightarrow x = \pm 23

2p

Trei soluții distincte

x \in {- 23, 0, 23}

R:

x \in {- 23, 0, 23}

✍️ Rezolvare (ca la examen)

x^{3} - 12 x = 0 \Leftrightarrow x (x^{2} - 12) = 0

x = 0 sau x^{2} = 12

x = 0 sau x = \pm 23

x \in {- 23, 0, 23}

\Rightarrow trei solutii reale distincte

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Factorizez ecuația

$x^{3} - 12 x = x (x^{2} - 12)$ . Produs zero: un factor zero.

x (x^{2} - 12) = 0

Pasul 2. Rezolv ambele cazuri

Caz 1: $x = 0$ . Caz 2: $x^{2} = 12 \Rightarrow x = \pm 12 = \pm 23$ .

x \in {- 23, 0, 23}

Pasul 99. Tabelul de variație al funcției g

Notez $g : R \to R$ , $g (x) = x^{3} - 12 x$ și caut soluțiile ecuației $g (x) = 0$ . Calculez derivata: $g^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 = 3 (x - 2) (x + 2)$ . Zerourile derivatei: $g^{'} (x) = 0 ⟺ x \in {- 2, 2}$ . Pentru $x_{0} = - 3$ , $g^{'} (- 3) = 15 > 0$ ; pentru $x_{0} = 0$ , $g^{'} (0) = - 12 < 0$ ; pentru $x_{0} = 3$ , $g^{'} (3) = 15 > 0$ .

x g^{'} (x) g (x) - \infty - \infty + ↗ - 2 016 - ↘ 20 - 16 + ↗ + \infty + \infty

Tabelul arată că $g$ are maxim local $g (- 2) = - 8 + 24 = 16 > 0$ și minim local $g (2) = 8 - 24 = - 16 < 0$ . Cum $g$ este continuă, strict crescătoare pe $(- \infty, - 2]$ cu valori în $(- \infty, 16]$ , descrescătoare pe $[- 2, 2]$ cu valori în $[- 16, 16]$ , și crescătoare pe $[2, + \infty)$ cu valori în $[- 16, + \infty)$ , valoarea $0$ este atinsă exact câte o dată pe fiecare interval. Concluzie: ecuația $x^{3} - 12 x = 0$ are exact $3$ soluții reale (pe care le pot și verifică direct: $x \in {- 23, 0, 23}$ ).

Pasul 4. Număr soluțiile distincte

Are sens? Da — $f (x) = x^{3} - 12 x$ e funcție polinomială impară cu trei rădăcini reale distincte, simetrice față de origine.

3 solutii reale

🟣 Nivel 5 — Poli / Facultatea de matedeschide ▾

Arătați că pentru orice

m > 1

, ecuația

x - ln x = m

are exact două soluții reale în

(0, + \infty)

.

📋 Barem explicat

1p

Notez g si găsesc punctul critic

g (x) = x - ln x, g^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}

1p

Stabilesc monotonia

g ↘ (0, 1], g ↗ [1, + \infty)

1p

Calculez minimul si limitele

g (1) = 1, x \to 0^{+} lim g = + \infty, x \to + \infty lim g = + \infty

2p

Aplic Darboux pe ambele ramuri

m > 1 \Rightarrow \exists! x_{1} \in (0, 1), x_{2} \in (1, + \infty)

R:

x_{1} \in (0, 1), x_{2} \in (1, + \infty)

✍️ Rezolvare (ca la examen)

g (x) = x - ln x, g^{'} (x) = \frac{x - 1}{x}

g ↘ (0, 1], g ↗ [1, + \infty), g (1) = 1

x \to 0^{+} lim g = + \infty, x \to + \infty lim g = + \infty

g ((0, 1]) = [1, + \infty), g ([1, + \infty)) = [1, + \infty)

m > 1 \Rightarrow \exists! x_{1} \in (0, 1), \exists! x_{2} \in (1, + \infty)

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Studiez monotonia si găsesc minimul

$g^{'} (x) = \frac{x - 1}{x}$ pe $(0, + \infty)$ . Numitor pozitiv, semnul vine din $x - 1$ . Punct critic: $x = 1$ , minim global $g (1) = 1$ .

min g = g (1) = 1

Pasul 2. Calculez limitele la capetele domeniului

$lim_{0^{+}} g = - ln 0^{+} = + \infty$ . $lim_{+ \infty} g = + \infty$ (linearul $x$ domină logaritmul).

x \to 0^{+}, + \infty lim g = + \infty

Pasul 99. Tabelul de variație al funcției g

Notez $g : (0, + \infty) \to R$ , $g (x) = x - ln x$ . Calculez derivata: $g^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$ , $x > 0$ . Cum $x > 0$ , semnul lui $g^{'}$ coincide cu semnul lui $x - 1$ . Pentru $x_{0} = \frac{1}{2} \in (0, 1)$ , $g^{'} (\frac{1}{2}) = - 1 < 0$ ; pentru $x_{0} = 2 \in (1, + \infty)$ , $g^{'} (2) = \frac{1}{2} > 0$ . Limitele: $x ↘ 0 lim g (x) = + \infty$ (deoarece $- ln x \to + \infty$ ) și $x \to + \infty lim g (x) = + \infty$ .

x g^{'} (x) g (x) 0 + \infty - ↘ 101 + ↗ + \infty + \infty

Tabelul arată că $g$ are minim global $g (1) = 1 - ln 1 = 1$ . Pentru $m > 1$ , dreapta $y = m$ taie graficul lui $g$ în exact două puncte: unul pe intervalul $(0, 1)$ unde $g$ scade strict de la $+ \infty$ la $1$ , și unul pe intervalul $(1, + \infty)$ unde $g$ crește strict de la $1$ la $+ \infty$ . Concluzie: pentru orice $m > 1$ , ecuația $x - ln x = m$ are exact două soluții reale în $(0, + \infty)$ .

Pasul 4. Aplic Darboux pe fiecare ramura

Atenție! Pe $(0, 1]$ , $g$ scade de la $+ \infty$ la $1$ — pentru $m > 1$ , există exact un $x_{1}$ . Pe $[1, + \infty)$ , $g$ crește de la $1$ la $+ \infty$ — există exact un $x_{2}$ . Total: 2 soluții.

x_{1} \in (0, 1), x_{2} \in (1, + \infty)

1c. Soluția unică a unei ecuații cu parametru