Bacalaureat Vara 2022 — Matematică M_mate-info — III1b

📖 Teorie necesară▾

Legătura derivată — monotonie

Pe un interval, semnul derivatei dă creșterea sau descreșterea funcției. Plus dă

↗

, minus dă

↘

.

f^{'} > 0 \Rightarrow f ↗; f^{'} < 0 \Rightarrow f ↘

Pătratul oricărei expresii reale

Pentru orice expresie reală

E

, pătratul ei e nenegativ — folosit aici pentru numitor.

E^{2} \geq 0, \forall E \in R

Exponențiala e strict pozitivă

Funcția exponențială ia doar valori strict pozitive — folosit pentru a izola semnul lui

1 - x

în derivată.

e^{x} > 0, \forall x \in R

Dacă vrei să aprofundezi aceste noțiuni, apasă pe una din ele:
aplicatii ale derivatelor studiul functiilor

📋 Barem explicat▾

1p

Folosesc derivata calculata la punctul a

f^{'} (x) = \frac{e ^{x} ( 1 - x )}{( e ^{x} - x ) ^{2}}

1p

Observ ca numitorul e strict pozitiv

(e^{x} - x)^{2} > 0, \forall x \in R

1p

Stabilesc semnul derivatei prin semnul lui 1 minus x

sgn f^{'} (x) = sgn (1 - x)

1p

Tabel de semne al derivatei

f^{'} (x) > 0 ⟺ x < 1, f^{'} (x) < 0 ⟺ x > 1

1p

Scriu intervalele de monotonie

f ↗ pe (- \infty, 1], f ↘ pe [1, + \infty)

R:

f ↗ pe (- \infty, 1], f ↘ pe [1, + \infty)

⚠️ Greșeala tipică▾

⚠️ Confuzia între semnul derivatei și valoarea funcției

Mulți elevi încearcă să compare

f (0)

cu

f (1)

pentru a deduce monotonia. La examen NU primește punctaj — trebuie ARĂTAT că

f^{'} (x)

are semn constant pe interval. A doua greșeală: uitarea că

(e^{x} - x)^{2} > 0

— unii cred că poate fi negativ.

GREȘIT ✗

f (0) = 2 < f (1) = 2 + \frac{1}{e - 1} \Rightarrow f crescatoare

CORECT ✓

f^{'} (x) = \frac{e ^{x} ( 1 - x )}{( e ^{x} - x ) ^{2}}, (e^{x} - x)^{2} > 0 \Rightarrow sgn f^{'} (x) = sgn (1 - x)

✍️ Rezolvare de nota 10 (ca la examen)▾

f^{'} (x) = \frac{e ^{x} ( 1 - x )}{( e ^{x} - x ) ^{2}}, (e^{x} - x)^{2} > 0, e^{x} > 0

\Rightarrow sgn f^{'} (x) = sgn (1 - x)

f^{'} (x) > 0 ⟺ x < 1, f^{'} (x) < 0 ⟺ x > 1

\Rightarrow f ↗ pe (- \infty, 1], f ↘ pe [1, + \infty)

👨‍🏫 Pas cu pas, ca la tablă▾

Pasul 1. Folosesc derivata si izolez semnul

De la punctul a) am $f^{'} (x) = \frac{e ^{x} ( 1 - x )}{( e ^{x} - x ) ^{2}}$ . Observ că numitorul e $E^{2} > 0$ pentru orice $x$ , iar $e^{x} > 0$ mereu. Singurul factor variabil ca semn este $1 - x$ .

sgn f^{'} (x) = sgn (1 - x)

Pasul 2. Construiesc tabelul de semne

$1 - x > 0 ⟺ x < 1$ (creștere), $1 - x < 0 ⟺ x > 1$ (descreștere). În $x = 1$ derivata se anulează — punct critic, candidat pentru maxim.

x f^{'} (x) f (x) - \infty + ↗ 10 - ↘ + \infty

Pasul 3. Scriu concluzia si verific

Atenție! Punctul $x = 1$ se include în AMBELE intervale (notație cu paranteză închisă), pentru că funcția e definită și continuă acolo. Are sens? Maxim global în $x = 1$ , $f (1) = 2 + \frac{1}{e - 1}$ .

f ↗ pe (- \infty, 1], f ↘ pe [1, + \infty)

🏋️ Antrenamente▾

Alege nivelul potrivit ție. Dacă exercițiul principal ți-a ieșit din prima, sari direct la 🔴/🟣.

🟢 Nivel 1 — Încălziredeschide ▾

Studiați monotonia funcției

f : R \to R

,

f (x) = x^{2} - 4 x + 3

.

📋 Barem explicat

1p

Calculez derivata

f^{'} (x) = 2 x - 4

2p

Găsesc punctele critice

f^{'} (x) = 0 ⟺ x = 2

2p

Stabilesc semnul derivatei

f^{'} (x) < 0 ⟺ x < 2, f^{'} (x) > 0 ⟺ x > 2

R:

f ↘ pe (- \infty, 2], f ↗ pe [2, + \infty)

✍️ Rezolvare (ca la examen)

f^{'} (x) = 2 x - 4

f^{'} (x) = 0 ⟺ x = 2, f (2) = - 1

f^{'} (x) < 0 ⟺ x < 2, f^{'} (x) > 0 ⟺ x > 2

\Rightarrow f ↘ pe (- \infty, 2], f ↗ pe [2, + \infty)

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Calculez derivata si găsesc punctul critic

$f^{'} (x) = 2 x - 4$ . $f^{'} (x) = 0 ⟺ x = 2$ — vârful parabolei.

f^{'} (x) = 0 ⟺ x = 2

Pasul 2. Stabilesc semnul

$2 x - 4 < 0 ⟺ x < 2$ . Sub vârf, $f$ scade. Peste vârf, $f$ crește.

f^{'} (x) > 0 ⟺ x > 2

Pasul 99. Tabelul de variație al funcției

Verific semnul derivatei prin substituție: pentru $x_{0} = 0 \in (- \infty, 2)$ , obțin $f^{'} (0) = - 4 < 0$ , deci $f^{'} < 0$ pe acest interval. Pentru $x_{0} = 3 \in (2, + \infty)$ , obțin $f^{'} (3) = 2 > 0$ , deci $f^{'} > 0$ pe acest interval. Pun semnele și săgețile în tabel:

x f^{'} (x) f (x) - \infty - ↘ 20 - 1 + ↗ + \infty

Tabelul arată că $f$ este strict descrescătoare pe $(- \infty, 2]$ și strict crescătoare pe $[2, + \infty)$ . Punctul $x = 2$ este minim global al funcției, cu $f (2) = 4 - 8 + 3 = - 1$ .

Pasul 4. Verific cu valoarea minimă

Are sens? Da, parabola cu coeficient pozitiv are minim în vârf, $f (2) = - 1$ .

f ↘ pe (- \infty, 2], f ↗ pe [2, + \infty)

🔵 Nivel 2 — La fel ca la BACdeschide ▾

Studiați monotonia funcției

f : R \to R

,

f (x) = x^{3} - 3 x

.

📋 Barem explicat

1p

Calculez derivata

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3

2p

Rezolv ecuația derivata zero

f^{'} (x) = 0 ⟺ x \in {- 1, 1}

2p

Stabilesc semnul pe fiecare subinterval

f^{'} (x) > 0 ⟺ x \in (- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)

R:

↗ (- \infty, - 1], ↘ [- 1, 1], ↗ [1, + \infty)

✍️ Rezolvare (ca la examen)

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x - 1) (x + 1)

f^{'} (x) = 0 ⟺ x \in {- 1, 1}

f^{'} (x) > 0 ⟺ x < - 1 sau x > 1

\Rightarrow f ↗ (- \infty, - 1], ↘ [- 1, 1], ↗ [1, + \infty)

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Calculez derivata si o factorizez

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x^{2} - 1) = 3 (x - 1) (x + 1)$ . Două puncte critice: $\pm 1$ .

f^{'} (x) = 3 (x - 1) (x + 1)

Pasul 2. Stabilesc semnul pe trei subintervale

Trei zone: $x < - 1$ (ambii factori negativi $\Rightarrow$ produs $+$ ), $- 1 < x < 1$ ( $+ \cdot - = -$ ), $x > 1$ ( $+ \cdot + = +$ ).

+, -, +

Pasul 99. Tabelul de variație al funcției

Verific semnul derivatei $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x - 1) (x + 1)$ pe cele trei intervale: pentru $x_{0} = - 2$ , $f^{'} (- 2) = 9 > 0$ ; pentru $x_{0} = 0$ , $f^{'} (0) = - 3 < 0$ ; pentru $x_{0} = 2$ , $f^{'} (2) = 9 > 0$ . Pun semnele și săgețile în tabel:

x f^{'} (x) f (x) - \infty + ↗ - 1 02 - ↘ 10 - 2 + ↗ + \infty

Tabelul arată că $f$ este strict crescătoare pe $(- \infty, - 1]$ și pe $[1, + \infty)$ , și strict descrescătoare pe $[- 1, 1]$ . Punctul $x = - 1$ este maxim local cu $f (- 1) = - 1 + 3 = 2$ , iar $x = 1$ este minim local cu $f (1) = 1 - 3 = - 2$ .

Pasul 4. Concluzie monotonie

Atenție! Funcția crește, scade, crește — pattern clasic de funcție cu maxim local în $- 1$ și minim local în $1$ .

↗ (- \infty, - 1], ↘ [- 1, 1], ↗ [1, + \infty)

🟠 Nivel 3 — Un pas mai susdeschide ▾

Studiați monotonia funcției

f : R \to R

,

f (x) = x \cdot e^{x}

.

📋 Barem explicat

1p

Aplic Formula derivării produsului

f^{'} (x) = e^{x} + x \cdot e^{x} = e^{x} (1 + x)

1p

Folosesc semnul exponențialei

e^{x} > 0 \Rightarrow sgn f^{'} (x) = sgn (1 + x)

1p

Punctul critic

f^{'} (x) = 0 ⟺ x = - 1

2p

Stabilesc semnul si concluzia

f^{'} (x) < 0 ⟺ x < - 1, f^{'} (x) > 0 ⟺ x > - 1

R:

f ↘ (- \infty, - 1], f ↗ [- 1, + \infty)

✍️ Rezolvare (ca la examen)

f^{'} (x) = (x \cdot e^{x})^{'} = e^{x} + x e^{x} = e^{x} (1 + x)

e^{x} > 0 \Rightarrow sgn f^{'} (x) = sgn (1 + x)

f^{'} (x) = 0 ⟺ x = - 1

\Rightarrow f ↘ (- \infty, - 1], f ↗ [- 1, + \infty)

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Aplic Formula derivării produsului si factorizez

$(x e^{x})^{'} = 1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x} = e^{x} (1 + x)$ — scot factorul comun $e^{x}$ .

f^{'} (x) = e^{x} (1 + x)

Pasul 2. Izolez semnul

$e^{x}$ e mereu pozitiv, deci semnul lui $f^{'}$ vine doar de la $1 + x$ . Punct critic: $x = - 1$ .

sgn f^{'} (x) = sgn (1 + x)

Pasul 99. Tabelul de variație al funcției

Calculez derivata folosind formula derivării produsului: $f^{'} (x) = (x)^{'} \cdot e^{x} + x \cdot (e^{x})^{'} = e^{x} + x e^{x} = e^{x} (1 + x)$ . Cum $e^{x} > 0$ pentru orice $x$ , semnul lui $f^{'}$ coincide cu semnul lui $1 + x$ . Pentru $x_{0} = - 2 \in (- \infty, - 1)$ , $f^{'} (- 2) = e^{- 2} (1 - 2) < 0$ . Pentru $x_{0} = 0 \in (- 1, + \infty)$ , $f^{'} (0) = e^{0} \cdot 1 = 1 > 0$ .

x f^{'} (x) f (x) - \infty - ↘ - 1 0 - \frac{1}{e} + ↗ + \infty

Tabelul arată că $f$ este strict descrescătoare pe $(- \infty, - 1]$ și strict crescătoare pe $[- 1, + \infty)$ . Punctul $x = - 1$ este minim global al funcției, cu $f (- 1) = - 1 \cdot e^{- 1} = - \frac{1}{e}$ .

Pasul 4. Concluzie monotonie

Are sens? Da — minim global în $x = - 1$ , valoare $f (- 1) = - \frac{1}{e}$ .

f ↘ (- \infty, - 1], f ↗ [- 1, + \infty)

🔴 Nivel 4 — Pentru notă maredeschide ▾

Studiați monotonia funcției

f : (0, + \infty) \to R

,

f (x) = ln x - x

.

📋 Barem explicat

1p

Calculez derivata

f^{'} (x) = \frac{1}{x} - 1

1p

Aduc la acelasi numitor

f^{'} (x) = \frac{1 - x}{x}

1p

Folosesc semnul lui x pe domeniu

x > 0 \Rightarrow sgn f^{'} (x) = sgn (1 - x)

1p

Punctul critic

f^{'} (x) = 0 ⟺ x = 1

1p

Concluzia

f^{'} (x) > 0 ⟺ x < 1, f^{'} (x) < 0 ⟺ x > 1

R:

f ↗ (0, 1], f ↘ [1, + \infty)

✍️ Rezolvare (ca la examen)

f^{'} (x) = \frac{1}{x} - 1 = \frac{1 - x}{x}

x > 0 \Rightarrow sgn f^{'} (x) = sgn (1 - x)

f^{'} (x) > 0 ⟺ x < 1, f^{'} (x) < 0 ⟺ x > 1

f^{'} (1) = 0, f (1) = - 1

\Rightarrow f ↗ (0, 1], f ↘ [1, + \infty)

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Calculez derivata si aduc la fractie unică

$f^{'} (x) = \frac{1}{x} - 1 = \frac{1 - x}{x}$ . Atenție la semnul minus!

f^{'} (x) = \frac{1 - x}{x}

Pasul 2. Stabilesc semnul folosind domeniul

Pe $(0, + \infty)$ , $x > 0$ . Deci semnul lui $f^{'}$ vine doar de la $1 - x$ . Punct critic: $x = 1$ .

sgn f^{'} (x) = sgn (1 - x)

Pasul 99. Tabelul de variație al funcției

Calculez derivata: $f^{'} (x) = \frac{1}{x} - 1 = \frac{1 - x}{x}$ , $x > 0$ . Cum $x > 0$ , semnul lui $f^{'}$ coincide cu semnul lui $1 - x$ . Pentru $x_{0} = \frac{1}{2} \in (0, 1)$ , $f^{'} (\frac{1}{2}) = 1 > 0$ . Pentru $x_{0} = 2 \in (1, + \infty)$ , $f^{'} (2) = - \frac{1}{2} < 0$ .

x f^{'} (x) f (x) 0 + ↗ 10 - 1 - ↘ + \infty

Tabelul arată că $f$ este strict crescătoare pe $(0, 1]$ și strict descrescătoare pe $[1, + \infty)$ . Punctul $x = 1$ este maxim global al funcției, cu $f (1) = ln 1 - 1 = - 1$ .

Pasul 4. Concluzia

Maxim global în $x = 1$ , $f (1) = 0 - 1 = - 1$ . Are sens? Da — funcție concavă cu un singur extrem.

f ↗ (0, 1], f ↘ [1, + \infty)

🟣 Nivel 5 — Poli / Facultatea de matedeschide ▾

Studiați monotonia funcției

f : R \to R

,

f (x) = \frac{x}{1 + x ^{2}}

.

📋 Barem explicat

1p

Aplic Formula derivării câtului

f^{'} (x) = \frac{1 \cdot ( 1 + x ^{2} ) - x \cdot 2 x}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}}

1p

Reduc numaratorul

f^{'} (x) = \frac{1 - x ^{2}}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}}

1p

Numitorul strict pozitiv

(1 + x^{2})^{2} > 0 \Rightarrow sgn f^{'} (x) = sgn (1 - x^{2})

1p

Rezolv f prim egal cu zero

f^{'} (x) = 0 ⟺ x \in {- 1, 1}

1p

Concluzia

f^{'} (x) > 0 ⟺ - 1 < x < 1

R:

f ↘ (- \infty, - 1], ↗ [- 1, 1], ↘ [1, + \infty)

✍️ Rezolvare (ca la examen)

f^{'} (x) = \frac{( 1 + x ^{2} ) - x \cdot 2 x}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}} = \frac{1 - x ^{2}}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}}

(1 + x^{2})^{2} > 0 \Rightarrow sgn f^{'} (x) = sgn (1 - x^{2})

f^{'} (x) > 0 ⟺ x \in (- 1, 1)

f^{'} (x) < 0 ⟺ x \in (- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)

\Rightarrow f ↘ (- \infty, - 1], ↗ [- 1, 1], ↘ [1, + \infty)

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Aplic Formula derivării câtului

$f (x) = x$ , $g (x) = 1 + x^{2}$ , $f^{'} (x) = 1$ , $g^{'} (x) = 2 x$ . Numărător: $1 \cdot (1 + x^{2}) - x \cdot 2 x = 1 + x^{2} - 2 x^{2} = 1 - x^{2}$ .

f^{'} (x) = \frac{1 - x ^{2}}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}}

Pasul 2. Izolez semnul derivatei

Numitorul $E^{2} > 0$ , deci semnul lui $f^{'}$ vine doar de la $1 - x^{2} = (1 - x) (1 + x)$ . Pozitiv pe $(- 1, 1)$ , negativ în afara intervalului.

sgn f^{'} (x) = sgn (1 - x^{2})

Pasul 99. Tabelul de variație al funcției

Aplic formula derivării câtului cu $f_{1} (x) = x$ , $f_{2} (x) = 1 + x^{2}$ , $f_{1}^{'} (x) = 1$ , $f_{2}^{'} (x) = 2 x$ :

f^{'} (x) = \frac{1 \cdot ( 1 + x ^{2} ) - x \cdot 2 x}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}} = \frac{1 - x ^{2}}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}}

Numitorul $(1 + x^{2})^{2} > 0$ , deci semnul lui $f^{'}$ coincide cu semnul lui $1 - x^{2} = (1 - x) (1 + x)$ . Pentru $x_{0} = - 2$ , $f^{'} (- 2) < 0$ ; pentru $x_{0} = 0$ , $f^{'} (0) = 1 > 0$ ; pentru $x_{0} = 2$ , $f^{'} (2) < 0$ .

x f^{'} (x) f (x) - \infty - ↘ - 1 0 - \frac{1}{2} + ↗ 10 \frac{1}{2} - ↘ + \infty

Tabelul arată că $f$ este descrescătoare pe $(- \infty, - 1]$ și pe $[1, + \infty)$ , și crescătoare pe $[- 1, 1]$ . Punctul $x = - 1$ este minim global cu $f (- 1) = - \frac{1}{2}$ , iar $x = 1$ este maxim global cu $f (1) = \frac{1}{2}$ .

Pasul 4. Concluzia si interpretarea

Atenție! Trei zone de monotonie. Maxim local în $x = 1$ ( $f (1) = 1/2$ ), minim local în $x = - 1$ ( $f (- 1) = - 1/2$ ).

f ↘ (- \infty, - 1], ↗ [- 1, 1], ↘ [1, + \infty)

1b. Intervale de monotonie