Bacalaureat Vara 2022 — Matematică M_mate-info — III1a

📖 Teorie necesară▾

Regula derivării unui raport

Se aplică pentru funcții derivabile

u, v

cu

v \neq = 0

. Numărătorul are o ordine STRICTĂ: derivata-ori-numitor MINUS numărător-ori-derivata.

(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} \cdot g - f \cdot g ^{'}}{v ^{2}}

Derivata exponențialei

Funcția

e^{x}

este propria sa derivată — singură funcție elementară cu această proprietate.

(e^{x})^{'} = e^{x}

Derivata unei sume si a unei constante

Derivata constantei este zero, iar derivata sumei e suma derivatelor. Aplicat la

e^{x} - x

obțin

e^{x} - 1

.

(c)^{'} = 0, (f + g)^{'} = f^{'} + g^{'}

Dacă vrei să aprofundezi aceste noțiuni, apasă pe una din ele:
reguli de derivare · derivatele functiilor uzuale

📋 Barem explicat▾

1p

Derivez constanta si raportul folosind Formula derivării câtului

f^{'} (x) = (\frac{x}{e ^{x} - x})^{'}

2p

Identific u si v si scriu formula

f (x) = x, f^{'} (x) = 1, g (x) = e^{x} - x, g^{'} (x) = e^{x} - 1

1p

Înlocuiesc in formula

f^{'} (x) = \frac{1 \cdot ( e ^{x} - x ) - x \cdot ( e ^{x} - 1 )}{( e ^{x} - x ) ^{2}}

1p

Reduc termenii din numărător

f^{'} (x) = \frac{e ^{x} - x e ^{x}}{( e ^{x} - x ) ^{2}} = \frac{e ^{x} ( 1 - x )}{( e ^{x} - x ) ^{2}}

R:

f^{'} (x) = \frac{e ^{x} ( 1 - x )}{( e ^{x} - x ) ^{2}}

⚠️ Greșeala tipică▾

⚠️ Inversarea ordinii la Formula derivării câtului

Cea mai frecventă greșeală: scrii

u v^{'} - u^{'} v

în loc de

u^{'} v - u v^{'}

. Schimbarea ordinii dă rezultatul cu semn opus. Verifică ÎNTOTDEAUNA: derivata-numărător înmulțit cu numitor, MINUS numărător înmulțit cu derivata-numitor.

GREȘIT ✗

f^{'} (x) = \frac{x \cdot ( e ^{x} - 1 ) - 1 \cdot ( e ^{x} - x )}{( e ^{x} - x ) ^{2}} = \frac{e ^{x} ( x - 1 )}{( e ^{x} - x ) ^{2}}

CORECT ✓

f^{'} (x) = \frac{1 \cdot ( e ^{x} - x ) - x \cdot ( e ^{x} - 1 )}{( e ^{x} - x ) ^{2}} = \frac{e ^{x} ( 1 - x )}{( e ^{x} - x ) ^{2}}

✍️ Rezolvare de nota 10 (ca la examen)▾

Aplic Formula derivării câtului cu

f (x) = x

,

g (x) = e^{x} - x

:

f^{'} (x) = \frac{1 \cdot ( e ^{x} - x ) - x \cdot ( e ^{x} - 1 )}{( e ^{x} - x ) ^{2}}

f^{'} (x) = \frac{e ^{x} - x - x e ^{x} + x}{( e ^{x} - x ) ^{2}}

f^{'} (x) = \frac{e ^{x} ( 1 - x )}{( e ^{x} - x ) ^{2}} \Rightarrow q.e.d.

👨‍🏫 Pas cu pas, ca la tablă▾

Pasul 1. Identific structura si pregatesc Formula derivării câtului

Funcția $f$ e suma dintre constanta $2$ și raportul $\frac{x}{e ^{x} - x}$ . Constanta dispare la derivare, deci toată acțiunea e la raport. Care e formula? Formula derivării câtului — atenție la ordinea termenilor!

Notez $f (x) = x$ și $g (x) = e^{x} - x$ . Calculez derivatele separat: $f^{'} (x) = 1$ , $g^{'} (x) = e^{x} - 1$ . Atenție! E ușor să uiți de $- 1$ care vine din derivata lui $- x$ .

f (x) = x, f^{'} (x) = 1, g (x) = e^{x} - x, g^{'} (x) = e^{x} - 1

Pasul 2. Înlocuiesc in formula derivatei câtului

Substitui în formula $(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} \cdot g - f \cdot g ^{'}}{v ^{2}}$ . Trebuie să dezvolt cu grijă numărătorul fără să pierd vreun semn.

f^{'} (x) = \frac{1 \cdot ( e ^{x} - x ) - x \cdot ( e ^{x} - 1 )}{( e ^{x} - x ) ^{2}}

Pasul 3. Reduc numaratorul si verific

Numărător: $(e^{x} - x) - x (e^{x} - 1) = e^{x} - x - x e^{x} + x = e^{x} - x e^{x} = e^{x} (1 - x)$ . Termenii $- x$ și $+ x$ se anulează. Are sens? Da — semnul $1 - x$ va da monotonia.

f^{'} (x) = \frac{e ^{x} ( 1 - x )}{( e ^{x} - x ) ^{2}}

🏋️ Antrenamente▾

Alege nivelul potrivit ție. Dacă exercițiul principal ți-a ieșit din prima, sari direct la 🔴/🟣.

🟢 Nivel 1 — Încălziredeschide ▾

Calculați derivata funcției

f : R ∖ {- 1} \to R

,

f (x) = \frac{x}{x + 1}

.

📋 Barem explicat

1p

Notez u si v si calculez derivatele lor

f (x) = x, f^{'} (x) = 1, g (x) = x + 1, g^{'} (x) = 1

2p

Înlocuiesc in formula câtului

f^{'} (x) = \frac{1 \cdot ( x + 1 ) - x \cdot 1}{( x + 1 ) ^{2}}

2p

Reduc numaratorul

f^{'} (x) = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}

R:

f^{'} (x) = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}

✍️ Rezolvare (ca la examen)

Aplic Formula derivării câtului cu

f (x) = x

,

g (x) = x + 1

:

f^{'} (x) = \frac{1 \cdot ( x + 1 ) - x \cdot 1}{( x + 1 ) ^{2}}

f^{'} (x) = \frac{x + 1 - x}{( x + 1 ) ^{2}}

f^{'} (x) = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Identific u si v

$f (x) = x$ , $g (x) = x + 1$ . Derivatele: $f^{'} (x) = 1$ , $g^{'} (x) = 1$ (constanta dispare).

f^{'} (x) = 1, g^{'} (x) = 1

Pasul 2. Înlocuiesc in formula

Aplic Formula derivării câtului — atenție la ordinea termenilor!

f^{'} (x) = \frac{1 \cdot ( x + 1 ) - x \cdot 1}{( x + 1 ) ^{2}}

Pasul 3. Reduc si verific

Numărător: $x + 1 - x = 1$ . Are sens? Da, $f$ e crescătoare (derivata pozitivă).

f^{'} (x) = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}

🔵 Nivel 2 — La fel ca la BACdeschide ▾

Calculați derivata funcției

f : R^{*} \to R

,

f (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x}

.

📋 Barem explicat

1p

Identific u si v

f (x) = x^{2} + 1, f^{'} (x) = 2 x, g (x) = x, g^{'} (x) = 1

2p

Înlocuiesc in formula câtului

f^{'} (x) = \frac{2 x \cdot x - ( x ^{2} + 1 ) \cdot 1}{x ^{2}}

2p

Reduc numaratorul

f^{'} (x) = \frac{2 x ^{2} - x ^{2} - 1}{x ^{2}} = \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2}}

R:

f^{'} (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2}}

✍️ Rezolvare (ca la examen)

Aplic Formula derivării câtului cu

f (x) = x^{2} + 1

,

g (x) = x

:

f^{'} (x) = \frac{2 x \cdot x - ( x ^{2} + 1 ) \cdot 1}{x ^{2}}

f^{'} (x) = \frac{2 x ^{2} - x ^{2} - 1}{x ^{2}}

f^{'} (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2}}

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Calculez derivatele lui u si v

$f (x) = x^{2} + 1 \Rightarrow f^{'} (x) = 2 x$ . $g (x) = x \Rightarrow g^{'} (x) = 1$ .

f^{'} (x) = 2 x, g^{'} (x) = 1

Pasul 2. Înlocuiesc in formula câtului

Substitui și obțin numărătorul $2 x \cdot x - (x^{2} + 1)$ .

f^{'} (x) = \frac{2 x ^{2} - x ^{2} - 1}{x ^{2}}

Pasul 3. Reduc si verific

$2 x^{2} - x^{2} = x^{2}$ . Numărător final: $x^{2} - 1$ .

f^{'} (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2}}

🟠 Nivel 3 — Un pas mai susdeschide ▾

Calculați derivata funcției

f : (1, + \infty) \to R

,

f (x) = \frac{x}{ln x}

.

📋 Barem explicat

1p

Identific u si v

f (x) = x, f^{'} (x) = 1, g (x) = ln x, g^{'} (x) = \frac{1}{x}

2p

Înlocuiesc in formula câtului

f^{'} (x) = \frac{1 \cdot ln x - x \cdot \frac{1}{x}}{ln ^{2} x}

2p

Reduc numaratorul

f^{'} (x) = \frac{ln x - 1}{ln ^{2} x}

R:

f^{'} (x) = \frac{ln x - 1}{ln ^{2} x}

✍️ Rezolvare (ca la examen)

Aplic Formula derivării câtului cu

f (x) = x

,

g (x) = ln x

:

f^{'} (x) = \frac{1 \cdot ln x - x \cdot \frac{1}{x}}{ln ^{2} x}

f^{'} (x) = \frac{ln x - 1}{ln ^{2} x}

f^{'} (x) = \frac{ln x - 1}{ln ^{2} x}, x > 1

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Identific u si v

$f (x) = x \Rightarrow f^{'} (x) = 1$ . $g (x) = ln x \Rightarrow g^{'} (x) = \frac{1}{x}$ .

f^{'} (x) = 1, g^{'} (x) = \frac{1}{x}

Pasul 2. Aplic formula

Numărător: $1 \cdot ln x - x \cdot \frac{1}{x} = ln x - 1$ . Numitor: $(ln x)^{2}$ .

f^{'} (x) = \frac{ln x - 1}{ln ^{2} x}

Pasul 3. Verific domeniul

Pe $(1, + \infty)$ , $ln x > 0$ , deci numitorul $ln^{2} x > 0$ — derivata e bine definită.

f^{'} (x) > 0 ⟺ ln x > 1 ⟺ x > e

🔴 Nivel 4 — Pentru notă maredeschide ▾

Calculați derivata funcției

f : (0, + \infty) \to R

,

f (x) = \frac{x + 1}{x}

.

📋 Barem explicat

1p

Identific u si v cu derivatele lor

f (x) = x + 1, f^{'} (x) = 1, g (x) = x, g^{'} (x) = \frac{1}{2 x}

2p

Înlocuiesc in formula câtului

f^{'} (x) = \frac{1 \cdot x - ( x + 1 ) \cdot \frac{1}{2 x}}{x}

1p

Aduc la acelasi numitor in numărător

numarator = \frac{2 x - ( x + 1 )}{2 x} = \frac{x - 1}{2 x}

1p

Simplific intreaga expresie

f^{'} (x) = \frac{x - 1}{2 x x}

R:

f^{'} (x) = \frac{x - 1}{2 x x}

✍️ Rezolvare (ca la examen)

Aplic Formula derivării câtului cu

f (x) = x + 1

,

g (x) = x

:

f^{'} (x) = \frac{x - ( x + 1 ) \cdot \frac{1}{2 x}}{x}

f^{'} (x) = \frac{\frac{2 x - x - 1}{2 x}}{x}

f^{'} (x) = \frac{x - 1}{2 x x}

f^{'} (x) = \frac{x - 1}{2 x x}, x > 0

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Pregatesc derivatele lui u si v

$f (x) = x + 1 \Rightarrow f^{'} (x) = 1$ . $g (x) = x \Rightarrow g^{'} (x) = \frac{1}{2 x}$ .

g^{'} (x) = \frac{1}{2 x}

Pasul 2. Aduc la acelasi numitor in numărător

Numărător: $x - (x + 1) \cdot \frac{1}{2 x}$ . Aduc la $2 x$ : $\frac{2 x - ( x + 1 )}{2 x} = \frac{x - 1}{2 x}$ .

num = \frac{x - 1}{2 x}

Pasul 3. Împart la x si simplific

Atenție! Numitorul total e $x \cdot 2 x = 2 x x$ . Deci $f^{'} (x) = \frac{x - 1}{2 x x}$ .

f^{'} (x) = \frac{x - 1}{2 x x}

🟣 Nivel 5 — Poli / Facultatea de matedeschide ▾

Calculați derivata funcției

f : R \to R

,

f (x) = \frac{e ^{x}}{x ^{2} + 1}

.

📋 Barem explicat

1p

Identific u si v cu derivatele

f (x) = e^{x}, f^{'} (x) = e^{x}, g (x) = x^{2} + 1, g^{'} (x) = 2 x

1p

Înlocuiesc in formula câtului

f^{'} (x) = \frac{e ^{x} ( x ^{2} + 1 ) - e ^{x} \cdot 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}

1p

Scot factorul comun e la x

f^{'} (x) = \frac{e ^{x} ( x ^{2} - 2 x + 1 )}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}

2p

Recunosc pătratul perfect

f^{'} (x) = \frac{e ^{x} ( x - 1 ) ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}

R:

f^{'} (x) = \frac{e ^{x} ( x - 1 ) ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}

✍️ Rezolvare (ca la examen)

Aplic Formula derivării câtului cu

f (x) = e^{x}

,

g (x) = x^{2} + 1

:

f^{'} (x) = \frac{e ^{x} ( x ^{2} + 1 ) - e ^{x} \cdot 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}

f^{'} (x) = \frac{e ^{x} ( x ^{2} + 1 - 2 x )}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}

f^{'} (x) = \frac{e ^{x} ( x ^{2} - 2 x + 1 )}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}

f^{'} (x) = \frac{e ^{x} ( x - 1 ) ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Aplic Formula derivării câtului

$f^{'} (x) = e^{x}$ (auto-derivata), $g^{'} (x) = 2 x$ . Substitui:

f^{'} (x) = \frac{e ^{x} ( x ^{2} + 1 ) - e ^{x} \cdot 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}

Pasul 2. Scot factorul comun la numărător

Factor comun $e^{x}$ : $e^{x} (x^{2} + 1 - 2 x) = e^{x} (x^{2} - 2 x + 1)$ . Recunosc pătratul perfect $x^{2} - 2 x + 1 = (x - 1)^{2}$ .

x^{2} - 2 x + 1 = (x - 1)^{2}

Pasul 3. Scriu forma finala si interpretez semnul

Atenție! $(x - 1)^{2} \geq 0$ și $e^{x} > 0$ , deci $f^{'} (x) \geq 0$ pe $R$ — funcția e crescătoare, cu un singur punct unde derivata se anulează: $x = 1$ .

f^{'} (x) = \frac{e ^{x} ( x - 1 ) ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}

1a. Derivata unei funcții raționale exponențiale