Bacalaureat Vara 2022 — Matematică M_mate-info — II2c

📖 Teorie necesară▾

Suma de cuburi — formula de factorizare

Această formulă permite factorizarea sumei a două cuburi într-un produs dintre o sumă simplă și un trinom. Este folosită frecvent în exerciții BAC pentru a simplifică fracții cu polinoame de grad 3.

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})

Fracție cu numitor compus

Când un operand are formă de fracție (de exemplu

\frac{4}{x}

), la substituție aduci la numitor comun și folosești regula împărțirii fracțiilor:

\frac{A}{B / C} = \frac{A \cdot C}{B}

.

\frac{A}{\frac{B}{C}} = \frac{A \cdot C}{B}

Ecuația se rezolvă in M, nenul

Mulțimea pe care căutăm soluția este

M = [0, + \infty) ∖ {0} = (0, + \infty)

. Soluțiile negative sau

x = 0

se elimină prin condițiile exercițiului.

x \in (0, + \infty)

Dacă vrei să aprofundezi aceste noțiuni, apasă pe una din ele:
legi de compozitie si tabla operatiei

📋 Barem explicat▾

1p

Scriu ecuația aplicând definiția legii pentru x si 4 supra x

\frac{2 x}{\frac{4}{x} + 2} + \frac{2 \cdot \frac{4}{x}}{x + 2} = x

1p

Aduc numitorul primei fractii la forma compacta

\frac{2 x}{\frac{4 + 2 x}{x}} = \frac{2 x ^{2}}{2 ( x + 2 )} = \frac{x ^{2}}{x + 2}

1p

Transform si al doilea termen

\frac{2 \cdot \frac{4}{x}}{x + 2} = \frac{8}{x ( x + 2 )}

1p

Adun cele doua fractii obtinute

\frac{x ^{2}}{x + 2} + \frac{8}{x ( x + 2 )} = \frac{x ^{3} + 8}{x ( x + 2 )}

1p

Factorizez numaratorul folosind suma de cuburi

\frac{( x + 2 ) ( x ^{2} - 2 x + 4 )}{x ( x + 2 )} = \frac{x ^{2} - 2 x + 4}{x}

1p

Scriu ecuația finala si rezolv

\frac{x ^{2} - 2 x + 4}{x} = x ⟹ x = 2

R:

x = 2

⚠️ Greșeala tipică▾

⚠️ Calculul direct fara aducere la numitor comun

Mulți elevi încearcă să calculeze

x * \frac{4}{x}

„pe ghicite” sau sar peste pasul de simplificare a numitorilor compuși. Rezultatul e dezastruos — ajung la expresii imposibile. Corect este să aduci FIECARE fracție la forma ei compactă ÎNAINTE de a le aduna: primul termen

\frac{x ^{2}}{x + 2}

, al doilea termen

\frac{8}{x ( x + 2 )}

. Abia după obținerea formelor simple se aduce la numitor comun și se aplică suma de cuburi. A doua greșeală frecventă e uitarea factorizării

x^{3} + 8 = (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)

— fără ea, rămâi cu o ecuație de gradul

3

pe care nu o poți rezolvă ușor.

GREȘIT ✗

\frac{2 x}{\frac{4}{x} + 2} = \frac{2 x \cdot x}{4 + 2 x} = \frac{x ^{2}}{2 + x}

CORECT ✓

\frac{2 x}{\frac{4}{x} + 2} = \frac{2 x}{\frac{4 + 2 x}{x}} = \frac{2 x \cdot x}{2 ( x + 2 )} = \frac{x ^{2}}{x + 2}

✍️ Rezolvare de nota 10 (ca la examen)▾

Înlocuiesc

y = \frac{4}{x}

în definiția legii:

x * \frac{4}{x} = \frac{2 x}{\frac{4}{x} + 2} + \frac{2 \cdot \frac{4}{x}}{x + 2}

x * \frac{4}{x} = \frac{2 x}{\frac{4 + 2 x}{x}} + \frac{\frac{8}{x}}{x + 2}

x * \frac{4}{x} = \frac{2 x ^{2}}{2 ( x + 2 )} + \frac{8}{x ( x + 2 )} = \frac{x ^{2}}{x + 2} + \frac{8}{x ( x + 2 )}

x * \frac{4}{x} = \frac{x ^{3} + 8}{x ( x + 2 )}

Folosesc suma de cuburi

x^{3} + 8 = (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)

:

x * \frac{4}{x} = \frac{( x + 2 ) ( x ^{2} - 2 x + 4 )}{x ( x + 2 )} = \frac{x ^{2} - 2 x + 4}{x}

Impun

x * \frac{4}{x} = x

:

\frac{x ^{2} - 2 x + 4}{x} = x ⟺ x^{2} - 2 x + 4 = x^{2}

- 2 x + 4 = 0 ⟺ x = 2

👨‍🏫 Pas cu pas, ca la tablă▾

Pasul 1. Scriu ecuația si simplific fractiile cu numitor compus

Prima dificultate: $\frac{4}{x}$ este el însuși o fracție, și trebuie înlocuit în două locuri în formulă — o dată ca $y$ la numitor ( $y + 2$ ), o dată ca $y$ la numărător. Asta va crea fracții cu numitori compuși, pe care trebuie să îi simplific ÎNAINTE de a aduna.

Primul termen: $\frac{2 x}{\frac{4}{x} + 2}$ . Aduc la numitor comun în numitor: $\frac{4}{x} + 2 = \frac{4 + 2 x}{x} = \frac{2 ( x + 2 )}{x}$ . Deci primul termen devine $\frac{2 x \cdot x}{2 ( x + 2 )} = \frac{x ^{2}}{x + 2}$ . Atenție la acest pas — e locul unde cei mai mulți elevi greșesc.

\frac{2 x}{\frac{4}{x} + 2} = \frac{x ^{2}}{x + 2}

Pasul 2. Al doilea termen si sumez cele doua fractii

Al doilea termen: $\frac{2 \cdot \frac{4}{x}}{x + 2} = \frac{\frac{8}{x}}{x + 2} = \frac{8}{x ( x + 2 )}$ . Aici numitorul compus e în numărător, deci aplic regula „fracție pe fracție = înmulțește cu inversă”.

Acum adun cele două forme simple. Numitor comun: $x (x + 2)$ . Aduc primul termen: $\frac{x ^{2}}{x + 2} = \frac{x ^{3}}{x ( x + 2 )}$ . Sumă: $\frac{x ^{3} + 8}{x ( x + 2 )}$ .

x * \frac{4}{x} = \frac{x ^{3} + 8}{x ( x + 2 )}

Pasul 3. Factorizez si rezolv ecuația finala

Observ că numărătorul $x^{3} + 8$ este o sumă de cuburi: $x^{3} + 2^{3} = (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ . Aceasta permite simplificarea cu $(x + 2)$ din numitor. Atenție! Simplificarea este validă doar dacă $x + 2 \neq = 0$ , adică $x \neq = - 2$ — oricum irelevant aici fiindcă $x \in M$ .

După simplificare: $\frac{x ^{2} - 2 x + 4}{x} = x$ , de unde $x^{2} - 2 x + 4 = x^{2}$ (înmulțim cu $x$ , $x \neq = 0$ ). Rezultă $- 2 x + 4 = 0$ , deci $x = 2$ .

Are sens? Verific: $2 \in M$ ( $2 > 0$ ), $\frac{4}{2} = 2 \in M$ , și $2 * 2 = 2$ (calculat la II.2.a antrenament 3). Perfect, soluția este $x = 2$ .

x^{2} - 2 x + 4 = x^{2} ⟹ x = 2

🏋️ Antrenamente▾

Alege nivelul potrivit ție. Dacă exercițiul principal ți-a ieșit din prima, sari direct la 🔴/🟣.

🟢 Nivel 1 — Încălziredeschide ▾

Pe

M = [0, + \infty)

cu legea

x * y = \frac{2 x}{y + 2} + \frac{2 y}{x + 2}

, determinați

x \in M

,

x \neq = 0

, pentru care

x * 2 = x

.

📋 Barem explicat

1p

Scriu ecuația înlocuind y egal 2

x * 2 = \frac{2 x}{4} + \frac{4}{x + 2}

1p

Simplific primul termen

\frac{x}{2} + \frac{4}{x + 2} = x

2p

Aduc la numitor comun si rezolv ecuația patratica

\frac{4}{x + 2} = \frac{x}{2} ⟹ 8 = x (x + 2)

1p

Rezolv ecuația de gradul doi si selectez soluția pozitivă

x^{2} + 2 x - 8 = 0 ⟹ x \in {2, - 4}, x = 2

R:

x = 2

✍️ Rezolvare (ca la examen)

Înlocuiesc

y = 2

in formula legii:

x * 2 = \frac{2 x}{4} + \frac{4}{x + 2} = \frac{x}{2} + \frac{4}{x + 2}

Egalez cu

x

:

\frac{x}{2} + \frac{4}{x + 2} = x

\frac{4}{x + 2} = x - \frac{x}{2} = \frac{x}{2}

8 = x (x + 2)

x^{2} + 2 x - 8 = 0 ⟹ x = 2

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Substitui si izolez fractia cu x plus 2

Înlocuiesc $y = 2$ — toți operanzii sunt acum concreți, fără fracții compuse. Obțin $\frac{x}{2} + \frac{4}{x + 2} = x$ și mut $\frac{x}{2}$ în dreapta: $\frac{4}{x + 2} = \frac{x}{2}$ .

\frac{4}{x + 2} = \frac{x}{2}

Pasul 2. Rezolv ecuația patratica si verific

Aplic „produs încrucișat”: $8 = x (x + 2) = x^{2} + 2 x$ . Rezolv $x^{2} + 2 x - 8 = 0$ : $Δ = 4 + 32 = 36$ , $x = \frac{- 2 \pm 6}{2}$ , deci $x \in {2, - 4}$ . Cum $x \in M$ , rămâne $x = 2$ . Atenție! Valoarea $- 4$ este soluție formală a ecuației, dar nu aparține mulțimii $M$ .

x^{2} + 2 x - 8 = 0 ⟹ x = 2

🔵 Nivel 2 — La fel ca la BACdeschide ▾

Pe

M = [0, + \infty)

cu legea

x * y = \frac{2 x}{y + 2} + \frac{2 y}{x + 2}

, determinați

x \in M

,

x \neq = 0

, pentru care

x * x = x

.

📋 Barem explicat

1p

Înlocuiesc y egal x in formula

x * x = \frac{2 x}{x + 2} + \frac{2 x}{x + 2}

1p

Sumez termenii identici

x * x = \frac{4 x}{x + 2}

2p

Egalez cu x si aduc la aceeasi expresie

\frac{4 x}{x + 2} = x ⟹ 4 x = x (x + 2)

1p

Rezolv si elimin soluția nulă

x^{2} - 2 x = 0 ⟹ x = 2

R:

x = 2

✍️ Rezolvare (ca la examen)

Pentru

y = x

, legea devine:

x * x = \frac{2 x}{x + 2} + \frac{2 x}{x + 2} = \frac{4 x}{x + 2}

Ecuația

x * x = x

:

\frac{4 x}{x + 2} = x ⟹ 4 x = x^{2} + 2 x

x^{2} - 2 x = 0 ⟹ x (x - 2) = 0 ⟹ x = 2

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Exploatez simetria legii

Când ambii operanzi sunt $x$ , cei doi termeni ai legii devin identici: $\frac{2 x}{x + 2}$ și $\frac{2 x}{x + 2}$ . Sumă: $\frac{4 x}{x + 2}$ . Elegant.

x * x = \frac{4 x}{x + 2}

Pasul 2. Rezolv si elimin x egal 0

$\frac{4 x}{x + 2} = x ⟺ 4 x = x (x + 2) ⟺ x^{2} - 2 x = 0 ⟺ x (x - 2) = 0$ . Soluții: $x = 0$ sau $x = 2$ . Enunțul cere $x \neq = 0$ , deci rămâne $x = 2$ .

x (x - 2) = 0, x \neq = 0 ⟹ x = 2

🟠 Nivel 3 — Un pas mai susdeschide ▾

Pe

R

se definește legea

x \circ y = x + y - x y

. Determinați

x \in R

pentru care

x \circ 3 = 0

.

📋 Barem explicat

1p

Scriu legea cu y egal 3

x \circ 3 = x + 3 - 3 x

1p

Simplific expresia

- 2 x + 3 = 0

2p

Izolez pe x

2 x = 3

1p

Scriu soluția finala

x = \frac{3}{2}

R:

x = \frac{3}{2}

✍️ Rezolvare (ca la examen)

Înlocuiesc

y = 3

in lege:

x \circ 3 = x + 3 - 3 x = - 2 x + 3

Egalez cu

0

:

- 2 x + 3 = 0 ⟹ x = \frac{3}{2}

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Substitui si obțin o ecuatie liniara

Înlocuiesc $y = 3$ : $x + 3 - 3 x = - 2 x + 3$ . Ecuația devine $- 2 x + 3 = 0$ , o ecuație liniară simplă.

- 2 x + 3 = 0

Pasul 2. Rezolv si obțin 3 supra 2

$- 2 x = - 3 ⟺ x = \frac{3}{2}$ . Cum $\frac{3}{2} \in R$ , soluția e validă.

x = \frac{3}{2}

🔴 Nivel 4 — Pentru notă maredeschide ▾

Pe

R

se definește legea

x ⋆ y = x y + x + y

. Determinați

x \in R

pentru care

x ⋆ x = 0

.

📋 Barem explicat

1p

Calculez x compus cu x

x ⋆ x = x^{2} + 2 x

1p

Egalez cu zero si obțin ecuația

x^{2} + 2 x = 0

2p

Factorizez prin scoaterea factorului comun

x (x + 2) = 0

1p

Identific ambele soluții

x \in {0, - 2}

R:

x \in {0, - 2}

✍️ Rezolvare (ca la examen)

Calculez

x ⋆ x

aplicând definiția legii:

x ⋆ x = x \cdot x + x + x

x ⋆ x = x^{2} + 2 x

Egalez cu

0

si rezolv ecuația rezultata:

x^{2} + 2 x = 0

Scot factorul comun

x

:

x (x + 2) = 0

Aplic principiul anularii produsului:

x = 0 sau x + 2 = 0

x \in {0, - 2}

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Substitui y egal x si obțin patratic

$x ⋆ x = x^{2} + x + x = x^{2} + 2 x$ . Am simplificat direct.

x ⋆ x = x^{2} + 2 x

Pasul 2. Factorizez fara formula Delta

$x^{2} + 2 x = 0$ — scot factorul comun: $x (x + 2) = 0$ . Soluții: $x = 0$ sau $x = - 2$ . Atenție! Nu aplica formula cu $Δ$ când termenul liber e zero — factorizarea e mai rapidă și mai elegantă.

x (x + 2) = 0 ⟹ x \in {0, - 2}

Pasul 3. Verific ambele soluții in ecuația originala

Verific $x = 0$ : $0 ⋆ 0 = 0 \cdot 0 + 0 + 0 = 0$ . Corect. Verific $x = - 2$ : $(- 2) ⋆ (- 2) = (- 2) (- 2) + (- 2) + (- 2) = 4 - 4 = 0$ . Si aceasta coincide.

Are sens? Ambele soluții sunt valide pe $R$ — enunțul nu cere $x$ pozitiv sau nenul. Dacă ecuația ar fi cerut $x > 0$ , ambele soluții ar fi fost respinse.

x \in {0, - 2}

🟣 Nivel 5 — Poli / Facultatea de matedeschide ▾

Pe

M = [0, + \infty)

cu legea

x * y = \frac{2 x}{y + 2} + \frac{2 y}{x + 2}

, determinați

x \in M

,

x \neq = 0

, pentru care

3 * x = 3

.

📋 Barem explicat

1p

Scriu ecuația înlocuind x egal 3

3 * x = \frac{6}{x + 2} + \frac{2 x}{5}

1p

Egalez cu 3 si aduc la numitor comun cinci ori x plus doi

\frac{6}{x + 2} + \frac{2 x}{5} = 3

1p

Înmulțesc cu cinci ori x plus doi si elimin numitorii

30 + 2 x (x + 2) = 15 (x + 2)

1p

Simplific si obțin ecuația de gradul doi

2 x^{2} - 11 x = 0

1p

Factorizez si elimin rădăcină nulă

x (2 x - 11) = 0, x \neq = 0 ⟹ x = \frac{11}{2}

R:

x = \frac{11}{2}

✍️ Rezolvare (ca la examen)

Înlocuiesc

x = 3

(primul argument fix) si pastrez

x

ca necunoscuta in al doilea argument:

3 * x = \frac{2 \cdot 3}{x + 2} + \frac{2 x}{3 + 2}

3 * x = \frac{6}{x + 2} + \frac{2 x}{5}

Egalez cu

3

si înmulțesc cu numitorul comun

5 (x + 2)

:

\frac{6}{x + 2} + \frac{2 x}{5} = 3

30 + 2 x (x + 2) = 15 (x + 2)

30 + 2 x^{2} + 4 x = 15 x + 30

Reduc termenii liberi si grupez:

2 x^{2} + 4 x - 15 x = 0

2 x^{2} - 11 x = 0

Scot factorul comun

x

si aplic principiul anularii produsului:

x (2 x - 11) = 0 ⟹ x = 0 sau x = \frac{11}{2}

x \neq = 0 ⟹ x = \frac{11}{2}

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Substitui prima variabila si obțin ecuația fractionara

Atenție! Aici $x$ din enunț e PRIMUL argument, iar $y = x$ (necunoscuta) e al doilea. Deci în formulă înlocuiesc primul $x$ cu $3$ , iar $y$ rămâne necunoscuta. Rezultă $\frac{6}{y + 2} + \frac{2 y}{5}$ — pe care îl notez cu $x$ (ca în enunț) pentru continuitate.

3 * x = \frac{6}{x + 2} + \frac{2 x}{5} = 3

Pasul 2. Înmulțesc cu 5 ori x plus 2 si obțin polinomial

Multiplic cu $5 (x + 2)$ : $\frac{6 \cdot 5 ( x + 2 )}{x + 2} + \frac{2 x \cdot 5 ( x + 2 )}{5} = 3 \cdot 5 (x + 2)$ , adică $30 + 2 x (x + 2) = 15 (x + 2)$ .

30 + 2 x^{2} + 4 x = 15 x + 30

Pasul 3. Rezolv patraticul si elimin zero

$2 x^{2} - 11 x = 0 ⟺ x (2 x - 11) = 0$ . Soluții: $x = 0$ sau $x = \frac{11}{2}$ . Cum enunțul cere $x \neq = 0$ , soluția e $x = \frac{11}{2}$ . Are sens? $\frac{11}{2} \in (0, + \infty)$ , deci aparține mulțimii $M$ fără $0$ . Corect.

x = \frac{11}{2}

Pasul 3. Verific ca soluția aparține mulțimii M

Are sens? Verific apartenenta: $\frac{11}{2} = 5, 5 > 0$ , deci $\frac{11}{2} \in M = [0, + \infty)$ . Coincide cu cerinta $x \neq = 0$ .

Verific si in ecuația originala: $3 * \frac{11}{2} = \frac{6}{\frac{11}{2} + 2} + \frac{2 \cdot \frac{11}{2}}{5} = \frac{6}{\frac{15}{2}} + \frac{11}{5} = \frac{12}{15} + \frac{11}{5} = \frac{4}{5} + \frac{11}{5} = \frac{15}{5} = 3$ . Verificat.

x = \frac{11}{2} \in M

2c. Ecuație pe legea de compoziție