Bacalaureat Vara 2022 — Matematică M_mate-info — II2b

📖 Teorie necesară▾

Definiția elementului neutru

Un element

e

din

M

este element neutru pentru legea

*

dacă pentru orice

a

din

M

compunerea lui

a

cu

e

și a lui

e

cu

a

dă tot

a

. Elementul neutru, dacă există, este unic.

e neutru \Leftrightarrow a * e = e * a = a, \forall a \in M

Legea exercițiului

Folosim legea dată în enunț, definită pe

M = [0, + \infty)

:

x * y = \frac{2 x}{y + 2} + \frac{2 y}{x + 2}

Condiția de apartenență a lui e la M

Un candidat

e

este element neutru DOAR dacă aparține mulțimii

M

pe care este definită legea. Nu e suficient să satisfacă ecuația — trebuie să fie și în mulțime.

e \in M si a * e = e * a = a

Dacă vrei să aprofundezi aceste noțiuni, apasă pe una din ele:
proprietatile legilor de compozitie

📋 Barem explicat▾

1p

Fixez un element a arbitrar in M si scriu definiția elementului neutru

e neutru \Leftrightarrow a * e = e * a = a, \forall a \in M

2p

Calculez produsul a compus cu 0

a * 0 = \frac{2 a}{0 + 2} + \frac{2 \cdot 0}{a + 2} = a + 0 = a

1p

Calculez produsul 0 compus cu a

0 * a = \frac{2 \cdot 0}{a + 2} + \frac{2 a}{0 + 2} = 0 + a = a

1p

Verific că 0 aparține mulțimii M

0 \in [0, + \infty) = M

R:

e = 0

⚠️ Greșeala tipică▾

⚠️ Verificarea doar a unei singure egalități

Cea mai frecventă greșeală este că elevul calculează doar

a * e = a

și declară că

e

este neutru, fără să verifice și

e * a = a

. Acest lucru ar fi corect DOAR dacă legea este comutativă, dar comutativitatea nu se știe încă (sau nu a fost demonstrată înainte). Pentru orice lege, definiția cere AMBELE egalități:

a * e = a

ȘI

e * a = a

. În plus, se uită verificarea

e \in M

— care aici e îndeplinită trivial (

0 \geq 0

), dar nu trebuie omisă.

GREȘIT ✗

a * 0 = a ⟹ 0 e neutru

CORECT ✓

a * 0 = a si 0 * a = a si 0 \in M ⟹ 0 e neutru

✍️ Rezolvare de nota 10 (ca la examen)▾

Verific

a * 0 = a

pentru orice

a \in M

:

a * 0 = \frac{2 a}{0 + 2} + \frac{2 \cdot 0}{a + 2} = \frac{2 a}{2} + 0 = a

Verific și

0 * a = a

:

0 * a = \frac{2 \cdot 0}{a + 2} + \frac{2 a}{0 + 2} = 0 + \frac{2 a}{2} = a

Cum

0 \in [0, + \infty) = M

și

a * 0 = 0 * a = a

:

e = 0 este elementul neutru

👨‍🏫 Pas cu pas, ca la tablă▾

Pasul 1. Ce înseamnă sa fie e element neutru

Un element $e \in M$ se numește element neutru dacă, atunci când îl compui cu orice alt element $a$ , rezultatul este $a$ — atât la compunerea $a * e$ , cât și la compunerea $e * a$ . Altfel spus, $e$ nu „mișcă” nimic.

Atenție! Trebuie verificate AMBELE egalități: $a * e = a$ ȘI $e * a = a$ . Chiar dacă legea arată simetrică, nu putem presupune comutativitatea fără demonstrație. De asemenea, $e$ trebuie să aparțină mulțimii $M$ — acesta e un detaliu pe care mulți îl uită.

e neutru \Leftrightarrow a * e = e * a = a, \forall a \in M

Pasul 2. Testez e egal 0 si calculez a compus cu 0

De ce testez $e = 0$ ? Deoarece la punctul a) am observat pattern-ul: $1 * 0 = 1$ , $2 * 0 = 2$ etc. Așa că e natural să bănuiesc că $0$ este elementul neutru.

Calculez $a * 0$ pentru un $a$ general. Substitui $x = a$ , $y = 0$ în formulă: primul termen $\frac{2 a}{0 + 2} = a$ , al doilea termen $\frac{0}{a + 2} = 0$ . Sumă: $a$ .

a * 0 = \frac{2 a}{2} + \frac{0}{a + 2} = a + 0 = a

Pasul 3. Verific 0 compus cu a si apartenenta la M

Acum calculez $0 * a$ — adică inversez ordinea. Substitui $x = 0$ , $y = a$ : primul termen $\frac{0}{a + 2} = 0$ , al doilea termen $\frac{2 a}{2} = a$ . Sumă: $a$ . Identic!

Observ că $0 \in [0, + \infty) = M$ — apartenența este evidentă. Deci toate cele trei condiții sunt îndeplinite: $a * 0 = a$ , $0 * a = a$ și $0 \in M$ . Concluzia: $e = 0$ este element neutru. Are sens? Da — elementul neutru al legii se comportă exact ca un „ $0$ natural” care nu schimbă celălalt operand.

0 * a = 0 + a = a, 0 \in M ⟹ e = 0 e neutru

🏋️ Antrenamente▾

Alege nivelul potrivit ție. Dacă exercițiul principal ți-a ieșit din prima, sari direct la 🔴/🟣.

🟢 Nivel 1 — Încălziredeschide ▾

Pe

R

se definește legea

x \circ y = x + y - 2

. Arătați că

e = 2

este elementul neutru al legii

\circ

.

📋 Barem explicat

2p

Scriu si calculez produsul a compus cu 2

a \circ 2 = a + 2 - 2 = a

2p

Calculez produsul 2 compus cu a

2 \circ a = 2 + a - 2 = a

1p

Verific ca 2 aparține mulțimii si conclud

2 \in R ⟹ e = 2 e neutru

R:

e = 2

✍️ Rezolvare (ca la examen)

Testez

e = 2

in definiția elementului neutru:

a \circ 2 = a + 2 - 2 = a

2 \circ a = 2 + a - 2 = a

Cum

2 \in R

, rezultă că

e = 2

este elementul neutru.

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Aplic definiția si înlocuiesc e egal 2

Pentru a verifică că $2$ e neutru, înlocuiesc $y = 2$ (pentru $a \circ 2$ ) și $x = 2$ (pentru $2 \circ a$ ). Am obținut $a$ în ambele cazuri.

a \circ 2 = a + 2 - 2 = a

Pasul 2. Verific cealalta egalitate si apartenenta

$2 \circ a = 2 + a - 2 = a$ . Cum $2 \in R$ , toate condițiile sunt îndeplinite. Atenție! Nu e suficient să arăți doar una dintre egalități — deși aici legea e comutativă, cerem ambele.

2 \circ a = a si 2 \in R

🔵 Nivel 2 — La fel ca la BACdeschide ▾

Pe

(0, + \infty)

se definește legea

x ⋆ y = \frac{x y}{3}

. Arătați că

e = 3

este elementul neutru al legii

⋆

.

📋 Barem explicat

2p

Calculez produsul a cu 3

a ⋆ 3 = \frac{3 a}{3} = a

2p

Calculez produsul 3 cu a

3 ⋆ a = \frac{3 a}{3} = a

1p

Verific apartenenta 3 la mulțimea de definiție

3 \in (0, + \infty)

R:

e = 3

✍️ Rezolvare (ca la examen)

Testez

e = 3

:

a ⋆ 3 = \frac{a \cdot 3}{3} = a

3 ⋆ a = \frac{3 \cdot a}{3} = a

Cum

3 \in (0, + \infty)

,

e = 3

este elementul neutru.

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. De ce ar fi 3 neutru

Intuitiv: legea are numitorul $3$ , deci ca să „anulezi” numitorul ai nevoie ca unul dintre factori să fie $3$ . Atunci $3 y /3 = y$ și gata.

a ⋆ 3 = \frac{3 a}{3} = a

Pasul 2. Verific ambele egalitati si concluzia

$3 ⋆ a = \frac{3 a}{3} = a$ . Cum $3 \in (0, + \infty)$ , $e = 3$ e element neutru.

3 ⋆ a = a, 3 \in (0, + \infty)

🟠 Nivel 3 — Un pas mai susdeschide ▾

Pe

R

se definește legea

x ⋄ y = x y - x - y + 2

. Arătați că

e = 2

este elementul neutru al legii

⋄

.

📋 Barem explicat

1p

Calculez a compus cu 2

a ⋄ 2 = 2 a - a - 2 + 2 = a

1p

Calculez 2 compus cu a

2 ⋄ a = 2 a - 2 - a + 2 = a

1p

Verific ca 2 aparține lui R

2 \in R

2p

Conclud ca e egal 2 este elementul neutru

e = 2 e neutru

R:

e = 2

✍️ Rezolvare (ca la examen)

Pentru

e = 2

:

a ⋄ 2 = 2 a - a - 2 + 2 = a

2 ⋄ a = 2 a - 2 - a + 2 = a

Cum

2 \in R

,

e = 2

este elementul neutru.

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Înlocuiesc y egal 2 in lege

Expresia devine $2 a - a - 2 + 2 = a$ . Toți termenii cu coeficienți se anulează frumos.

a ⋄ 2 = a

Pasul 2. Verific si cealalta parte

$2 ⋄ a = 2 a - 2 - a + 2 = a$ . Verificat. Sugestie: dacă rescrii legea ca $(x - 1) (y - 1) + 1$ , vezi că $e = 2$ e natural (face factorul al doilea egal cu $1$ ).

2 ⋄ a = a

🔴 Nivel 4 — Pentru notă maredeschide ▾

Pe

R

se definește legea

x \oplus y = x + y + 5

. Arătați că

e = - 5

este elementul neutru al legii

\oplus

.

📋 Barem explicat

1p

Scriu definiția si fixez e candidat

e neutru \Leftrightarrow a \oplus e = e \oplus a = a

1p

Calculez a compus cu minus 5

a \oplus (- 5) = a + (- 5) + 5 = a

1p

Calculez minus 5 compus cu a

(- 5) \oplus a = - 5 + a + 5 = a

2p

Verific ca minus 5 este real si conclud

- 5 \in R ⟹ e = - 5

R:

e = - 5

✍️ Rezolvare (ca la examen)

Testez

e = - 5

:

a \oplus (- 5) = a + (- 5) + 5 = a

Verific cu un exemplu concret pentru

a = 7

:

7 \oplus (- 5) = 7 + (- 5) + 5 = 7 ✓

(- 5) \oplus a = - 5 + a + 5 = a

Cum

- 5 \in R

,

e = - 5

este elementul neutru.

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Determin candidatul pentru e

Pentru legea $x + y + 5$ , candidatul natural e opusul constantei: $e = - 5$ . Atenție! Semnul este crucial — nu $+ 5$ , ci $- 5$ .

a \oplus (- 5) = a + (- 5) + 5 = a

Pasul 2. Verific dubla egalitate

$(- 5) \oplus a = - 5 + a + 5 = a$ . Ambele egalități verificate. Cum $- 5 \in R$ , concluzia e că $e = - 5$ este elementul neutru.

(- 5) \oplus a = a

Pasul 3. Verific cu un caz particular

Are sens? Testez identitatea pentru un $a$ concret, sa zicem $a = 7$ . Calculez $7 \oplus (- 5) = 7 + (- 5) + 5 = 7$ . Coincide. Si $(- 5) \oplus 7 = - 5 + 7 + 5 = 7$ . Tot $7$ . Identitatea $- 5$ functioneaza.

Atenție! Dacă legea ar fi fost $x + y - 5$ (minus, nu plus), elementul neutru ar fi fost $+ 5$ . Semnul constantei se inverseaza intotdeauna in candidatul de element neutru.

e = - 5 e neutru pentru x \oplus y = x + y + 5

🟣 Nivel 5 — Poli / Facultatea de matedeschide ▾

Pe

R

se definește legea

x □ y = 3 x^{3} + y^{3}

. Arătați că

e = 0

este elementul neutru al legii

□

.

📋 Barem explicat

1p

Scriu formula si substituesc y egal 0

a □ 0 = 3 a^{3} + 0^{3} = 3 a^{3}

1p

Observ ca radicalul de ordin 3 din a la a treia este a pentru a real

3 a^{3} = a, \forall a \in R

1p

Calculez si cealalta compunere

0 □ a = 3 0 + a^{3} = a

2p

Verific ca zero aparține lui R si conclud

0 \in R ⟹ e = 0 e neutru

R:

e = 0

✍️ Rezolvare (ca la examen)

Testez

e = 0

:

a □ 0 = 3 a^{3} + 0^{3} = 3 a^{3} = a

0 □ a = 3 0^{3} + a^{3} = 3 a^{3} = a

Verific pentru

a = - 2

(rădăcină impara functioneaza si pentru negativ):

(- 2) □ 0 = 3 (- 2)^{3} + 0 = 3 - 8 = - 2 ✓

Cum

0 \in R

,

e = 0

este elementul neutru.

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Substitui zero in lege

Când înlocuiesc $y = 0$ , $y^{3} = 0$ dispare din sumă. Rămâne $3 a^{3} = a$ pentru orice $a \in R$ — cheia fiind că radicalul este de ordin IMPAR, deci funcționează și pentru $a$ negativ.

a □ 0 = 3 a^{3} = a

Pasul 2. Verific simetric

Atenție! Dacă radicalul ar fi fost de ordin par (exemplu $a^{2}$ ), am fi obținut $∣ a ∣$ , nu $a$ . Aici fiindcă e de ordin $3$ (impar), obținem direct $a$ , cu semn. Cealaltă compunere $0 □ a$ dă același rezultat prin simetrie.

0 □ a = 3 a^{3} = a

Pasul 3. Verific pentru un a negativ

Atenție! Pentru a fi sigur ca $3 a^{3} = a$ si pentru valori negative ale lui $a$ , testez cu $a = - 2$ : $3 (- 2)^{3} = 3 - 8 = - 2$ . Functioneaza.

Acesta este avantajul rădăcinii de ordin impar față de cea de ordin par. Pentru $a^{2}$ as fi obținut $∣ a ∣ = 2$ in loc de $- 2$ , iar identitatea elementului neutru s-ar fi rupt pentru $a$ negativ.

(- 2) □ 0 = - 2, e = 0 e neutru pe R

2b. Elementul neutru al legii