Bacalaureat Vara 2022 — Matematică M_mate-info — II2a

📖 Teorie necesară▾

Definiția unei legi de compoziție pe o mulțime

O lege de compoziție pe mulțimea

M

este o funcție care asociază fiecărei perechi

(x, y)

din

M \times M

un element

x * y

din

M

. Calculul unei compuneri concrete se face înlocuind direct valorile în formula definitorie.

* : M \times M \to M, (x, y) \mapsto x * y

Legea de compoziție a exercițiului

Pe

M = [0, + \infty)

, legea este definită prin formula de mai jos. Se observă că numitorii

y + 2

și

x + 2

sunt strict pozitivi pentru orice

x, y \geq 0

, deci operația este bine definită.

x * y = \frac{2 x}{y + 2} + \frac{2 y}{x + 2}

Simplificare la înmulțire cu 0

Orice fracție cu numărător

0

și numitor nenul este egală cu

0

. Aceasta este proprietatea elementară care simplifică radical calculul când unul dintre operanzi este

0

.

\frac{0}{a} = 0, pentru orice a \neq = 0

Dacă vrei să aprofundezi aceste noțiuni, apasă pe una din ele:
legi de compozitie si tabla operatiei

📋 Barem explicat▾

2p

Aplic definiția legii pentru valorile date, înlocuind x egal 1 si y egal 0

1 * 0 = \frac{2 \cdot 1}{0 + 2} + \frac{2 \cdot 0}{1 + 2}

2p

Calculez separat fiecare fracție

\frac{2}{2} + \frac{0}{3} = 1 + 0

1p

Adun și obțin rezultatul final

1 * 0 = 1

R:

1 * 0 = 1

⚠️ Greșeala tipică▾

⚠️ Uitarea unei paranteze la substituție

Când elevul înlocuiește

x = 1

și

y = 0

în formula

x * y = \frac{2 x}{y + 2} + \frac{2 y}{x + 2}

, cel mai frecvent își uită o paranteză sau inversează valorile. Spre exemplu, scrie

\frac{2 \cdot 0}{1 + 2}

la primul termen în loc de al doilea, ceea ce schimbă complet rezultatul. Reflexul corect este de a scrie întâi formula cu spații, apoi a substitui sistematic: primul

x

este

1

, primul

y

este

0

, al doilea

x

este

1

, al doilea

y

este

0

. Nu amesteci pozițiile.

GREȘIT ✗

1 * 0 = \frac{2 \cdot 0}{1 + 2} + \frac{2 \cdot 1}{0 + 2} = 0 + 1 = 1

CORECT ✓

1 * 0 = \frac{2 \cdot 1}{0 + 2} + \frac{2 \cdot 0}{1 + 2} = 1 + 0 = 1

✍️ Rezolvare de nota 10 (ca la examen)▾

Aplic definiția legii pentru

x = 1

,

y = 0

:

1 * 0 = \frac{2 \cdot 1}{0 + 2} + \frac{2 \cdot 0}{1 + 2}

1 * 0 = \frac{2}{2} + \frac{0}{3}

1 * 0 = 1 + 0 = 1

👨‍🏫 Pas cu pas, ca la tablă▾

Pasul 1. Citesc formula si identific ce trebuie sa înlocuiesc

Avem legea $x * y = \frac{2 x}{y + 2} + \frac{2 y}{x + 2}$ și ni se cere $1 * 0$ . Ce înseamnă asta? Că în formulă primul argument (adică $x$ ) este $1$ , iar al doilea argument (adică $y$ ) este $0$ .

Atenție! Ordinea contează. $1 * 0$ nu este același lucru cu $0 * 1$ în general — aici suntem norocoși pentru că legea este comutativă, dar asta nu o știm încă. Deci respectăm cu strictețe ordinea: $x = 1$ , $y = 0$ .

1 * 0 = \frac{2 \cdot 1}{0 + 2} + \frac{2 \cdot 0}{1 + 2}

Pasul 2. Simplific fiecare fractie pas cu pas

Mă uit separat la cele două fracții. Prima fracție are numărătorul $2 \cdot 1 = 2$ și numitorul $0 + 2 = 2$ . Deci prima fracție este $\frac{2}{2} = 1$ .

A doua fracție are numărătorul $2 \cdot 0 = 0$ și numitorul $1 + 2 = 3$ . Orice fracție cu numărător $0$ și numitor nenul este $0$ , deci a doua fracție este $\frac{0}{3} = 0$ .

1 * 0 = \frac{2}{2} + \frac{0}{3} = 1 + 0

Pasul 3. Adun si verific ca are sens

Sumez cele două valori obținute: $1 + 0 = 1$ . Gata, am ajuns la rezultatul cerut.

Are sens? Să verific: pentru $y = 0$ , al doilea termen al legii devine $\frac{0}{x + 2} = 0$ , iar primul termen devine $\frac{2 x}{2} = x$ . Deci, pentru orice $x$ , avem $x * 0 = x$ . În particular pentru $x = 1$ obținem $1 * 0 = 1$ , ceea ce confirmă calculul direct. Acest detaliu va fi util la punctul b).

1 * 0 = 1

🏋️ Antrenamente▾

Alege nivelul potrivit ție. Dacă exercițiul principal ți-a ieșit din prima, sari direct la 🔴/🟣.

🟢 Nivel 1 — Încălziredeschide ▾

Pe aceeași mulțime

M = [0, + \infty)

și cu aceeași lege

x * y = \frac{2 x}{y + 2} + \frac{2 y}{x + 2}

, arătați că

2 * 0 = 2

.

📋 Barem explicat

2p

Scriu formula legii cu valorile date

2 * 0 = \frac{2 \cdot 2}{0 + 2} + \frac{2 \cdot 0}{2 + 2}

2p

Calculez separat cei doi termeni

\frac{4}{2} + \frac{0}{4} = 2 + 0

1p

Obțin rezultatul

2 * 0 = 2

R:

2 * 0 = 2

✍️ Rezolvare (ca la examen)

Aplic definiția pentru

x = 2

,

y = 0

:

2 * 0 = \frac{2 \cdot 2}{0 + 2} + \frac{2 \cdot 0}{2 + 2}

2 * 0 = \frac{4}{2} + \frac{0}{4}

2 * 0 = 2 + 0 = 2

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Substitui valorile in formula

Avem $x = 2$ și $y = 0$ . Primul $x$ și al doilea $x$ (din numitor) sunt ambele $2$ ; primul $y$ și al doilea $y$ sunt $0$ .

2 * 0 = \frac{2 \cdot 2}{0 + 2} + \frac{2 \cdot 0}{2 + 2}

Pasul 2. Simplific si adun

Prima fracție: $\frac{4}{2} = 2$ . A doua fracție: $\frac{0}{4} = 0$ . Sumă: $2 + 0 = 2$ .

2 * 0 = 2 + 0 = 2

🔵 Nivel 2 — La fel ca la BACdeschide ▾

Cu aceeași lege

x * y = \frac{2 x}{y + 2} + \frac{2 y}{x + 2}

pe

M = [0, + \infty)

, arătați că

0 * 3 = 3

.

📋 Barem explicat

2p

Înlocuiesc in formula legii valorile x egal 0 si y egal 3

0 * 3 = \frac{2 \cdot 0}{3 + 2} + \frac{2 \cdot 3}{0 + 2}

2p

Calculez fiecare termen separat

\frac{0}{5} + \frac{6}{2} = 0 + 3

1p

Finalizez calculul

0 * 3 = 3

R:

0 * 3 = 3

✍️ Rezolvare (ca la examen)

Aplic definiția pentru

x = 0

,

y = 3

:

0 * 3 = \frac{2 \cdot 0}{3 + 2} + \frac{2 \cdot 3}{0 + 2}

0 * 3 = \frac{0}{5} + \frac{6}{2}

0 * 3 = 0 + 3 = 3

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Identific care variabila este 0

Aici $x = 0$ , $y = 3$ . Atenție! $x$ este primul argument, nu al doilea. În formulă, primul $x$ apare la numărătorul primei fracții — acest $2 x$ va deveni $0$ .

0 * 3 = \frac{2 \cdot 0}{3 + 2} + \frac{2 \cdot 3}{0 + 2}

Pasul 2. Simplific si obțin 3

Prima fracție devine $\frac{0}{5} = 0$ . A doua fracție: $\frac{6}{2} = 3$ . Suma e $0 + 3 = 3$ .

0 * 3 = 0 + 3 = 3

🟠 Nivel 3 — Un pas mai susdeschide ▾

Cu legea

x * y = \frac{2 x}{y + 2} + \frac{2 y}{x + 2}

pe

M = [0, + \infty)

, calculați

2 * 2

.

📋 Barem explicat

2p

Înlocuiesc ambele variabile cu 2 in formula legii

2 * 2 = \frac{2 \cdot 2}{2 + 2} + \frac{2 \cdot 2}{2 + 2}

2p

Calculez cei doi termeni care devin egali

\frac{4}{4} + \frac{4}{4} = 1 + 1

1p

Obțin valoarea finală

2 * 2 = 2

R:

2 * 2 = 2

✍️ Rezolvare (ca la examen)

Aplic definiția pentru

x = y = 2

:

2 * 2 = \frac{2 \cdot 2}{2 + 2} + \frac{2 \cdot 2}{2 + 2}

2 * 2 = \frac{4}{4} + \frac{4}{4}

2 * 2 = 1 + 1 = 2

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Observ simetria

Când $x = y = 2$ , cei doi termeni ai legii devin identici: $\frac{2 \cdot 2}{2 + 2}$ și $\frac{2 \cdot 2}{2 + 2}$ . Asta înseamnă că pot face un singur calcul și înmulți cu $2$ .

2 * 2 = 2 \cdot \frac{4}{4} = 2 \cdot 1 = 2

Pasul 2. Verific direct prin formula

Pentru siguranță, refac calculul linie cu linie: $\frac{4}{4} + \frac{4}{4} = 1 + 1 = 2$ . Rezultatul coincide. Interesant: $2 * 2 = 2$ , adică $2$ se comportă ca un fel de „element absorbant pe diagonală”.

2 * 2 = 1 + 1 = 2

🔴 Nivel 4 — Pentru notă maredeschide ▾

Cu aceeași lege

x * y = \frac{2 x}{y + 2} + \frac{2 y}{x + 2}

pe

M = [0, + \infty)

, arătați că

1 * 3 = \frac{12}{5}

.

📋 Barem explicat

1p

Scriu formula legii cu valorile date

1 * 3 = \frac{2 \cdot 1}{3 + 2} + \frac{2 \cdot 3}{1 + 2}

1p

Simplific cele două fracții

\frac{2}{5} + \frac{6}{3} = \frac{2}{5} + 2

2p

Aduc la același numitor

\frac{2}{5} + \frac{10}{5} = \frac{12}{5}

1p

Scriu rezultatul final

1 * 3 = \frac{12}{5}

R:

1 * 3 = \frac{12}{5}

✍️ Rezolvare (ca la examen)

Aplic definiția pentru

x = 1

,

y = 3

:

1 * 3 = \frac{2 \cdot 1}{3 + 2} + \frac{2 \cdot 3}{1 + 2}

1 * 3 = \frac{2}{5} + \frac{6}{3}

1 * 3 = \frac{2}{5} + 2

1 * 3 = \frac{2}{5} + \frac{10}{5} = \frac{12}{5}

Verific reductia:

\frac{12}{5}

este ireductibila (

g cd (12, 5) = 1

).

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Înlocuiesc valorile si simplific fractiile

Substitui $x = 1$ și $y = 3$ în legea $x * y = \frac{2 x}{y + 2} + \frac{2 y}{x + 2}$ . Prima fracție devine $\frac{2}{5}$ (nu se simplifică), a doua devine $\frac{6}{3} = 2$ .

1 * 3 = \frac{2}{5} + 2

Pasul 2. Aduc la acelasi numitor si adun

Pentru a aduna $\frac{2}{5}$ cu $2$ , scriu $2 = \frac{10}{5}$ și sumez numărătorii: $2 + 10 = 12$ . Rezultatul final este $\frac{12}{5}$ , care este o fracție ireductibilă.

1 * 3 = \frac{2}{5} + \frac{10}{5} = \frac{12}{5}

Pasul 3. Verific reductibilitatea fractiei finale

Are sens? Verific cifric: $\frac{12}{5} = 2.4$ , iar $1 * 3$ ar trebui sa fie un număr mai mic decât suma operanzilor (deoarece legea contine fractii cu numitori mai mari ca 1). Intr-adevar, $2.4 < 4 = 1 + 3$ , ceea ce e consistent.

Atenție! Verific si ireductibilitatea: $g cd (12, 5) = 1$ (deoarece $5$ este prim si nu divide $12$ ), deci $\frac{12}{5}$ este forma cea mai simpla. Nu se mai poate reduce.

1 * 3 = \frac{12}{5}, ireductibila

🟣 Nivel 5 — Poli / Facultatea de matedeschide ▾

Cu aceeași lege

x * y = \frac{2 x}{y + 2} + \frac{2 y}{x + 2}

pe

M = [0, + \infty)

, arătați că pentru orice

a \in M

avem

a * 0 = a

.

📋 Barem explicat

1p

Fixez a arbitrar in mulțimea M si scriu definiția legii

a * 0 = \frac{2 a}{0 + 2} + \frac{2 \cdot 0}{a + 2}

1p

Simplific primul termen

\frac{2 a}{2} = a

1p

Al doilea termen este zero deoarece numărătorul este zero

\frac{0}{a + 2} = 0

2p

Sumez termenii si obțin identitatea

a * 0 = a + 0 = a, \forall a \in M

R:

a * 0 = a, \forall a \in M

✍️ Rezolvare (ca la examen)

Fie

a \in M

arbitrar. Aplic definiția pentru

x = a

,

y = 0

:

a * 0 = \frac{2 a}{0 + 2} + \frac{2 \cdot 0}{a + 2}

a * 0 = \frac{2 a}{2} + \frac{0}{a + 2}

a * 0 = a + 0 = a

Generalizarea

a * 0 = a, \forall a \in M

este o identitate fundamentala — anticipa b).

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Trec de la numere concrete la o variabila generala

Până acum am calculat $1 * 0, 2 * 0$ și am obținut $1$ , respectiv $2$ . Observ un pattern: $a * 0 = a$ . Îl dovedesc acum general, înlocuind $x = a$ (unde $a$ e arbitrar) și $y = 0$ .

a * 0 = \frac{2 a}{0 + 2} + \frac{2 \cdot 0}{a + 2}

Pasul 2. Simplific si observ ca obțin a

Primul termen: $\frac{2 a}{2} = a$ . Al doilea termen: $\frac{0}{a + 2} = 0$ (numitorul e nenul fiindcă $a \geq 0 ⟹ a + 2 \geq 2 > 0$ ). Deci $a * 0 = a + 0 = a$ pentru orice $a \in M$ .

Atenție! Această identitate spune că $0$ este element neutru la dreapta. Ca să fie element neutru complet, ne trebuie și $0 * a = a$ — pe care îl vom verifică la punctul b).

a * 0 = a, \forall a \in M

Pasul 3. Verific cu valori particulare

Verific identitatea pentru $a = 1$ : $1 * 0 = 1$ — coincide cu exercitiul principal. Pentru $a = 2$ : $2 * 0 = 2$ — coincide cu antrenamentul 1. Identitatea $a * 0 = a$ functioneaza pentru orice valoare reală nenegativa.

Are sens? Da — am demonstrat ca operandul $0$ se comporta ca element neutru la dreapta. Acest rezultat va fi piatra de temelie a punctului b), unde voi arată ca $0$ este element neutru complet (atat la dreapta cât si la stanga).

a * 0 = a, \forall a \in [0, + \infty)

2a. Calcul direct pe legea de compoziție