Bacalaureat Vara 2022 — Matematică M_mate-info — II1c

📖 Teorie necesară▾

Morfismul aditiv al familiei A(x)

Rezultatul punctului II.1.b: produsul a două matrice

A (x)

și

A (y)

este

A (x + y)

. Aplicat iterativ, produsul a

k

matrice devine

A

de suma parametrilor.

A (x_{1}) \cdot A (x_{2}) \cdot \dots \cdot A (x_{k}) = A (x_{1} + x_{2} + \dots + x_{k})

Suma a patru termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice

Pentru numerele naturale

n, n + 1, n + 2, n + 3

, suma este

4 n

plus suma

0 + 1 + 2 + 3 = 6

.

n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4 n + 6

Ecuația de gradul al doilea — formula discriminantului

Soluțiile ecuației

a x^{2} + b x + c = 0

se obțin din formula lui Viète, iar natura soluțiilor depinde de semnul discriminantului

Δ = b^{2} - 4 a c

.

x_{1, 2} = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

Dacă vrei să aprofundezi aceste noțiuni, apasă pe una din ele:
matrice definitie si operatii

📋 Barem explicat▾

2p

Aplic iterativ proprietatea de la II.1.b

A (n) \cdot A (n + 1) \cdot A (n + 2) \cdot A (n + 3) = A (n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3))

1p

Calculez suma din argument

n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4 n + 6

1p

Scriu ecuația folosind injectivitatea familiei A(x)

4 n + 6 = 2 n^{2}

1p

Rezolv și selectez soluția naturală

n^{2} - 2 n - 3 = 0 ⟹ n = 3

R:

n = 3

⚠️ Greșeala tipică▾

⚠️ Aplicarea proprietății fără verificarea injectivității

Elevii scriu imediat

4 n + 6 = 2 n^{2}

fără să justifice DE CE din

A (a) = A (b)

rezultă

a = b

. Atenție! Nu orice familie de matrice satisface injectivitatea — trebuie să observăm că pentru

A (a) = A (b)

, elementul de pe poziția

(1, 2)

cere

- a = - b

, deci

a = b

automat. Doar după această verificare putem trece de la egalitatea matricială la egalitatea parametrilor. Al doilea reflex greșit: rezolvarea

2 n^{2} - 4 n - 6 = 0

fără a împărți prin

2

, ceea ce duce la calcule mai urâte cu discriminant

Δ = 16 + 48

.

GREȘIT ✗

2 n^{2} - 4 n - 6 = 0 ⟹ Δ = 16 + 48 = 64 ș i n = \frac{4 \pm 8}{4}

CORECT ✓

n^{2} - 2 n - 3 = 0 ⟹ (n - 3) (n + 1) = 0 ⟹ n \in {3, - 1}

✍️ Rezolvare de nota 10 (ca la examen)▾

Conform II.1.b aplicat iterativ:

A (n) \cdot A (n + 1) \cdot A (n + 2) \cdot A (n + 3) = A (n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3)) = A (4 n + 6)

A (4 n + 6) = A (2 n^{2}) ⟺ 4 n + 6 = 2 n^{2}

2 n^{2} - 4 n - 6 = 0 ⟺ n^{2} - 2 n - 3 = 0

(n - 3) (n + 1) = 0 ⟺ n \in {3, - 1}

Cum

n \in N

:

n = 3

👨‍🏫 Pas cu pas, ca la tablă▾

Pasul 1. Aplic iterativ proprietatea de la punctul b)

La punctul anterior am demonstrat că $A (x) \cdot A (y) = A (x + y)$ . Această proprietate se extinde la oricâte matrice prin aplicare repetată. De ce? Deoarece produsul este asociativ: $A (x) \cdot A (y) \cdot A (z) = (A (x) \cdot A (y)) \cdot A (z) = A (x + y) \cdot A (z) = A (x + y + z)$ , și tot așa pentru patru matrice.

A (n) \cdot A (n + 1) \cdot A (n + 2) \cdot A (n + 3) = A (n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3))

Calculez suma din argument:

n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4 n + 6

Pasul 2. Obțin o ecuație în parametri

Ecuația dată devine $A (4 n + 6) = A (2 n^{2})$ . Dar de ce pot trece de la egalitatea matricilor la egalitatea parametrilor? **Atenție!** Această trecere necesită o observație: familia $A$ este injectivă, adică $A (a) = A (b) ⟹ a = b$ .

Demonstrația e simplă: dacă $A (a) = A (b)$ , atunci comparând elementele de pe poziția $(1, 2)$ obținem $- a = - b$ , deci $a = b$ . Așadar:

A (4 n + 6) = A (2 n^{2}) ⟺ 4 n + 6 = 2 n^{2}

Pasul 3. Rezolv ecuația și aleg soluția naturală

Aduc totul într-o parte: $2 n^{2} - 4 n - 6 = 0$ . Împart prin $2$ ca să simplific calculele:

n^{2} - 2 n - 3 = 0

Rezolv prin factorizare — caut două numere cu produsul $- 3$ și suma $- 2$ : acestea sunt $- 3$ și $+ 1$ , deci:

(n - 3) (n + 1) = 0 ⟺ n = 3 sau n = - 1

**Are sens?** Problema cere $n \in N$ , deci $n \geq 0$ . Valoarea $n = - 1$ se elimină. Rămâne $n = 3$ . Verificare finală: pentru $n = 3$ , $4 \cdot 3 + 6 = 18$ și $2 \cdot 3^{2} = 18$ , egalitate confirmată.

🏋️ Antrenamente▾

Alege nivelul potrivit ție. Dacă exercițiul principal ți-a ieșit din prima, sari direct la 🔴/🟣.

🟢 Nivel 1 — Încălziredeschide ▾

Cu matricea

A (x)

din enunț, determinați

n \in N

pentru care

A (n) \cdot A (n + 1) \cdot A (n + 2) = A (n^{2})

.

📋 Barem explicat

2p

Aplic proprietatea de morfism pentru trei matrice

A (n) \cdot A (n + 1) \cdot A (n + 2) = A (3 n + 3)

2p

Pun condiția și rezolv ecuația de gradul al doilea

3 n + 3 = n^{2} ⟺ n^{2} - 3 n - 3 = 0

1p

Calculez discriminantul și identific soluția

Δ = 9 + 12 = 21, nicio solu ț ie natural \overset{a}{˘}

R:

n = 3

✍️ Rezolvare (ca la examen)

A (n) \cdot A (n + 1) \cdot A (n + 2) = A (n + (n + 1) + (n + 2)) = A (3 n + 3)

A (3 n + 3) = A (n^{2}) ⟺ 3 n + 3 = n^{2}

n^{2} - 3 n - 3 = 0

Δ = 9 + 12 = 21

n = \frac{3 \pm 21}{2} \in / N, deci nu exist \overset{a}{˘} solu ț ie natural \overset{a}{˘} .

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Aplic morfismul pentru trei matrice

Suma parametrilor este $n + (n + 1) + (n + 2) = 3 n + 3$ . Deci produsul este $A (3 n + 3)$ .

A (n) \cdot A (n + 1) \cdot A (n + 2) = A (3 n + 3)

Pasul 2. Rezolv ecuația de gradul al doilea

Ecuația $3 n + 3 = n^{2}$ se rescrie $n^{2} - 3 n - 3 = 0$ . Discriminantul este $Δ = 9 + 12 = 21$ , care nu este pătrat perfect.

n = \frac{3 \pm 21}{2} \in / N

🔵 Nivel 2 — La fel ca la BACdeschide ▾

Cu matricea

A (x)

din enunț, calculați

A (1) \cdot A (2) \cdot A (3) \cdot \dots \cdot A (10)

.

📋 Barem explicat

2p

Aplic proprietatea de morfism pentru 10 matrice

A (1) \cdot A (2) \cdot \dots \cdot A (10) = A (1 + 2 + \dots + 10)

2p

Calculez suma cu formula lui Gauss

1 + 2 + \dots + 10 = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55

1p

Obțin rezultatul

A (1) \cdot A (2) \cdot \dots \cdot A (10) = A (55)

R:

A (55)

✍️ Rezolvare (ca la examen)

A (1) \cdot A (2) \cdot A (3) \cdot \dots \cdot A (10) = A (1 + 2 + 3 + \dots + 10)

1 + 2 + 3 + \dots + 10 = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55

A (1) \cdot A (2) \cdot \dots \cdot A (10) = A (55)

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Aplic morfismul pentru 10 matrice

Proprietatea $A (x) \cdot A (y) = A (x + y)$ se extinde la orice număr finit de matrice. Prin aplicare repetată:

A (1) \cdot A (2) \cdot A (3) \cdot \dots \cdot A (10) = A (1 + 2 + 3 + \dots + 10)

Pasul 2. Calculez suma cu formula lui Gauss

Suma primilor $10$ numere naturale este $\frac{10 \cdot 11}{2} = 55$ .

A (1) \cdot A (2) \cdot \dots \cdot A (10) = A (55)

🟠 Nivel 3 — Un pas mai susdeschide ▾

Cu matricea

A (x)

din enunț, determinați

x \in R

pentru care

A (x) \cdot A (3) = I_{3}

.

📋 Barem explicat

2p

Observ că I_3 = A(0)

A (0) = 100010001 = I_{3}

2p

Aplic proprietatea de morfism

A (x) \cdot A (3) = A (x + 3)

1p

Rezolv ecuația A(x+3) = A(0)

x + 3 = 0 ⟺ x = - 3

R:

x = - 3

✍️ Rezolvare (ca la examen)

A (0) = 100010001 = I_{3}

A (x) \cdot A (3) = A (x + 3) conform II.1.b

A (x + 3) = I_{3} = A (0)

x + 3 = 0 ⟺ x = - 3

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Recunosc că I_3 = A(0)

Dacă înlocuiesc $x = 0$ în definiția lui $A$ , obțin $A (0) = I_{3}$ — elementele $- x, x^{2}, - 2 x$ devin toate zero.

A (0) = I_{3}

Pasul 2. Aplic morfismul și rezolv

$A (x) \cdot A (3) = A (x + 3) = A (0)$ . Din injectivitate, $x + 3 = 0$ .

x = - 3

🔴 Nivel 4 — Pentru notă maredeschide ▾

Cu matricea

A (x)

din enunț, determinați numerele naturale

n

pentru care

A (n) \cdot A (2 n) \cdot A (3 n) = A (n^{2} + 6)

.

📋 Barem explicat

1p

Aplic proprietatea morfismului

A (n) \cdot A (2 n) \cdot A (3 n) = A (n + 2 n + 3 n) = A (6 n)

1p

Egalez cu argumentul din dreapta

6 n = n^{2} + 6

1p

Rescriu ca ecuație de gradul al doilea

n^{2} - 6 n + 6 = 0

1p

Calculez discriminantul

Δ = 36 - 24 = 12

1p

Observ că 12 nu e număr întreg — nicio soluție naturală

n = 3 \pm 3 \in / N

R:

n = 6

✍️ Rezolvare (ca la examen)

A (n) \cdot A (2 n) \cdot A (3 n) = A (n + 2 n + 3 n)

A (n + 2 n + 3 n) = A (6 n)

A (6 n) = A (n^{2} + 6) ⟺ 6 n = n^{2} + 6

n^{2} - 6 n + 6 = 0

Δ = 36 - 24 = 12

n_{1, 2} = \frac{6 \pm 12}{2} = 3 \pm 3

3 \in / Q, deci n \in / N, nu exist \overset{a}{˘} solu ț ie natural \overset{a}{˘} .

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Aplic morfismul

Suma parametrilor este $n + 2 n + 3 n = 6 n$ , deci produsul este $A (6 n)$ .

A (n) \cdot A (2 n) \cdot A (3 n) = A (6 n)

Pasul 2. Obțin ecuația și calculez discriminantul

Ecuația $6 n = n^{2} + 6$ se rescrie $n^{2} - 6 n + 6 = 0$ . Calculez $Δ = 36 - 24 = 12$ .

n = 3 \pm 3

Pasul 3. Elimin soluțiile nenaturale

Deoarece $3$ este irațional, nicio valoare a lui $n$ nu este naturală. Concluzia: nu există $n \in N$ care să satisfacă ecuația.

n \in / N pentru nicio solu ț ie

🟣 Nivel 5 — Poli / Facultatea de matedeschide ▾

Cu matricea

A (x)

din enunț, determinați

n \in N^{*}

pentru care

A (1) \cdot A (2) \cdot \dots \cdot A (n) = A (\frac{n ( n + 1 )}{2})

.

📋 Barem explicat

1p

Aplic morfismul iterativ

A (1) \cdot A (2) \cdot \dots \cdot A (n) = A (1 + 2 + \dots + n)

1p

Folosesc formula lui Gauss

1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}

1p

Compar cu argumentul din dreapta

A (\frac{n ( n + 1 )}{2}) = A (\frac{n ( n + 1 )}{2})

1p

Observ că identitatea este adevărată pentru orice n N^*

Egalitatea se verific \overset{a}{˘} pentru orice n \in N^{*}

1p

Justific prin inducție strict matematică

P (n) : k = 1 \prod n A (k) = A (\frac{n ( n + 1 )}{2})

R:

n \in N^{*}

✍️ Rezolvare (ca la examen)

Aplic proprietatea de morfism pentru n matrice:

A (1) \cdot A (2) \cdot \dots \cdot A (n) = A (1 + 2 + \dots + n)

1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2} (formula lui Gauss)

A (1) \cdot A (2) \cdot \dots \cdot A (n) = A (\frac{n ( n + 1 )}{2})

Egalitatea cerut \overset{a}{˘} se verific \overset{a}{˘} pentru orice n \in N^{*}

A ș adar, mul ț imea solu ț iilor este N^{*} = {1, 2, 3, \dots}

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Aplic morfismul iterativ

Prin aplicarea repetată a relației $A (x) \cdot A (y) = A (x + y)$ , produsul a $n$ matrice devine $A$ de suma parametrilor.

A (1) \cdot A (2) \cdot \dots \cdot A (n) = A (1 + 2 + \dots + n)

Pasul 2. Folosesc formula lui Gauss

Suma primilor $n$ numere naturale se calculează cu formula lui Gauss.

1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}

Pasul 3. Identitatea este adevărată pentru orice n

Obținem $A (\frac{n ( n + 1 )}{2})$ care coincide cu membrul drept. Egalitatea se verifică pentru orice $n \in N^{*}$ , deci mulțimea soluțiilor este $N^{*}$ .

Solu ț ia: n \in N^{*}

1c. Ecuație matricială: produs iterat de matrice