Bacalaureat Vara 2022 — Matematică M_mate-info — II1b

📖 Teorie necesară▾

Produsul a două matrice 3×3

Elementul de pe poziția

(i, j)

al produsului

A \cdot B

este suma produselor elementelor liniei

i

din

A

cu elementele coloanei

j

din

B

. Pentru matrice

3 \times 3

, această sumă are trei termeni.

(A \cdot B)_{ij} = k = 1 \sum 3 a_{ik} b_{k j} = a_{i 1} b_{1 j} + a_{i 2} b_{2 j} + a_{i 3} b_{3 j}

Pătratul unei sume

Identitate fundamentală folosită pentru a recunoaște rezultatul produsului ca pătrat perfect.

(x + y)^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}

Dacă vrei să aprofundezi aceste noțiuni, apasă pe una din ele:
matrice definitie si operatii

📋 Barem explicat▾

2p

Scriu produsul A(x) A(y) și calculez elementele primei linii

A (x) \cdot A (y) = 100 - y - x 10 y^{2} + 2 x y + x^{2} - 2 y - 2 x 1

2p

Rescriu elementele ca funcții de x+y folosind identitățile (x+y)^2 și factor comun

A (x) \cdot A (y) = 100 - (x + y) 10 (x + y)^{2} - 2 (x + y) 1

1p

Recunosc că rezultatul este exact A(x+y)

A (x) \cdot A (y) = A (x + y)

R:

A (x) \cdot A (y) = A (x + y)

⚠️ Greșeala tipică▾

⚠️ Confuzia ordinii factorilor la înmulțirea a două matrice

Greșeala cea mai frecventă la înmulțirea matricelor este confuzia ordinii: elevii înmulțesc coloanele lui

A

cu liniile lui

B

(invers decât trebuie), sau amestecă indicii. Atenție! Regula e clară: elementul

(A \cdot B)_{ij}

= linia

i

din

A

scalar cu coloana

j

din

B

. Al doilea reflex greșit este să uiți că

A \cdot B \neq = B \cdot A

în general — înmulțirea matricelor NU este comutativă. În exercițiul nostru însă,

A (x) \cdot A (y) = A (x + y) = A (y + x) = A (y) \cdot A (x)

, deci familia

A (x)

este specială: comută.

GREȘIT ✗

(A (x) \cdot A (y))_{12} = 1 \cdot (- y) + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = - y (doar - y, am uitat - x)

CORECT ✓

(A (x) \cdot A (y))_{12} = 1 \cdot (- y) + (- x) \cdot 1 + x^{2} \cdot 0 = - y - x = - (x + y)

✍️ Rezolvare de nota 10 (ca la examen)▾

A (x) \cdot A (y) = 100 - x 10 x^{2} - 2 x 1 \cdot 100 - y 10 y^{2} - 2 y 1

Calculez fiecare poziție:

c_{12} = - y - x = - (x + y)

c_{13} = y^{2} + 2 x y + x^{2} = (x + y)^{2}

c_{23} = - 2 y - 2 x = - 2 (x + y)

A (x) \cdot A (y) = 100 - (x + y) 10 (x + y)^{2} - 2 (x + y) 1 = A (x + y)

👨‍🏫 Pas cu pas, ca la tablă▾

Pasul 1. Scriu produsul și îmi planific calculul

Am nevoie să calculez produsul $A (x) \cdot A (y)$ . Matricea $A (y)$ o obțin înlocuind $x$ cu $y$ în definiție. Deoarece ambele matrice sunt triunghiulare superior cu $1$ pe diagonală și $0$ sub diagonală, produsul va fi tot o matrice triunghiulară cu $1$ pe diagonală. Așa că trebuie să calculez efectiv doar trei elemente: $(1, 2)$ , $(1, 3)$ și $(2, 3)$ — restul le cunosc deja.

A (x) \cdot A (y) = 100 - x 10 x^{2} - 2 x 1 \cdot 100 - y 10 y^{2} - 2 y 1

De ce pot spune direct că diagonala rămâne $1$ și că sub diagonală avem $0$ ? Deoarece produsul a două matrice triunghiulare superior este tot triunghiular superior, iar pe diagonală apar produsele elementelor diagonale: $1 \cdot 1 = 1$ .

Pasul 2. Calculez cele trei elemente nenule de deasupra diagonalei

Aplic formula: elementul $(i, j)$ al produsului este suma produselor liniei $i$ din prima matrice cu coloana $j$ din a doua. Încep cu poziția $(1, 2)$ :

(A (x) \cdot A (y))_{12} = 1 \cdot (- y) + (- x) \cdot 1 + x^{2} \cdot 0 = - y - x = - (x + y)

Continui cu poziția $(1, 3)$ — linia $1$ din prima scalar cu coloana $3$ din a doua:

(A (x) \cdot A (y))_{13} = 1 \cdot y^{2} + (- x) \cdot (- 2 y) + x^{2} \cdot 1 = y^{2} + 2 x y + x^{2} = (x + y)^{2}

**Atenție!** Aici apare capcana: $(- x) \cdot (- 2 y) = + 2 x y$ (minus cu minus face plus). Dacă uiți semnul, obții $- 2 x y$ și pătratul nu se mai potrivește. Ultima poziție de calculat este $(2, 3)$ :

(A (x) \cdot A (y))_{23} = 0 \cdot y^{2} + 1 \cdot (- 2 y) + (- 2 x) \cdot 1 = - 2 y - 2 x = - 2 (x + y)

Pasul 3. Recunosc structura A(x+y) în rezultat

Acum adun toate elementele calculate într-o singură matrice:

A (x) \cdot A (y) = 100 - (x + y) 10 (x + y)^{2} - 2 (x + y) 1

Compar cu definiția lui $A$ : $A (t) = 100 - t 10 t^{2} - 2 t 1$ . Dacă iau $t = x + y$ , obțin exact matricea de mai sus. **Are sens?** Da — familia ${A (x) : x \in R}$ se comportă ca o ,,exponențială de matrici'' în raport cu parametrul: produsul corespunde adunării parametrilor. Concluzia:

A (x) \cdot A (y) = A (x + y), pentru orice x, y \in R

🏋️ Antrenamente▾

Alege nivelul potrivit ție. Dacă exercițiul principal ți-a ieșit din prima, sari direct la 🔴/🟣.

🟢 Nivel 1 — Încălziredeschide ▾

Se consideră matricea

M (x) = (10 x 1)

,

x \in R

. Arătați că

M (x) \cdot M (y) = M (x + y)

, pentru orice

x, y \in R

.

📋 Barem explicat

2p

Scriu produsul M(x) M(y)

M (x) \cdot M (y) = (10 x 1) \cdot (10 y 1)

2p

Calculez elementul de pe poziția (1,2)

(M (x) \cdot M (y))_{12} = 1 \cdot y + x \cdot 1 = x + y

1p

Recunosc rezultatul

M (x) \cdot M (y) = (10 x + y 1) = M (x + y)

R:

M (x) \cdot M (y) = M (x + y)

✍️ Rezolvare (ca la examen)

M (x) \cdot M (y) = (10 x 1) \cdot (10 y 1)

M (x) \cdot M (y) = (1 \cdot 1 + x \cdot 0 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 1 \cdot y + x \cdot 1 0 \cdot y + 1 \cdot 1)

M (x) \cdot M (y) = (10 x + y 1)

M (x) \cdot M (y) = M (x + y)

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Scriu produsul celor două matrice

Aplic formula produsului de matrice $2 \times 2$ . Matricea $M (y)$ o obțin înlocuind $x$ cu $y$ în definiția lui $M$ .

M (x) \cdot M (y) = (1 \cdot 1 + x \cdot 0 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 1 \cdot y + x \cdot 1 0 \cdot y + 1 \cdot 1) = (10 x + y 1)

Pasul 2. Recunosc că rezultatul e M(x+y)

Comparând cu definiția $M (t) = (10 t 1)$ , recunosc imediat că matricea obținută este $M (x + y)$ .

M (x) \cdot M (y) = M (x + y)

🔵 Nivel 2 — La fel ca la BACdeschide ▾

Fie

N (x) = (e^{x} 0 0 e^{x})

,

x \in R

. Arătați că

N (x) \cdot N (y) = N (x + y)

, pentru orice

x, y \in R

.

📋 Barem explicat

2p

Scriu produsul celor două matrice diagonale

N (x) \cdot N (y) = (e^{x} \cdot e^{y} 0 0 e^{x} \cdot e^{y})

2p

Folosesc proprietatea exponențialei

e^{x} \cdot e^{y} = e^{x + y}

1p

Recunosc rezultatul

N (x) \cdot N (y) = (e^{x + y} 0 0 e^{x + y}) = N (x + y)

R:

N (x) \cdot N (y) = N (x + y)

✍️ Rezolvare (ca la examen)

N (x) \cdot N (y) = (e^{x} 0 0 e^{x}) \cdot (e^{y} 0 0 e^{y})

N (x) \cdot N (y) = (e^{x} \cdot e^{y} 0 0 e^{x} \cdot e^{y})

Folosesc e^{x} \cdot e^{y} = e^{x + y}

N (x) \cdot N (y) = (e^{x + y} 0 0 e^{x + y})

N (x) \cdot N (y) = N (x + y)

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Înmulțesc cele două matrice diagonale

Produsul a două matrice diagonale se face pe coordonate: elementul de pe diagonală al produsului este produsul elementelor corespunzătoare.

N (x) \cdot N (y) = (e^{x} \cdot e^{y} 0 0 e^{x} \cdot e^{y})

Pasul 2. Aplic regula exponențialei

Pentru exponențiale cu aceeași bază, înmulțirea devine adunare a exponenților: $e^{x} \cdot e^{y} = e^{x + y}$ .

N (x) \cdot N (y) = (e^{x + y} 0 0 e^{x + y}) = N (x + y)

🟠 Nivel 3 — Un pas mai susdeschide ▾

Fie

P (x) = (1 x 01)

,

x \in R

. Arătați că

P (x) \cdot P (y) = P (x + y)

pentru orice

x, y \in R

.

📋 Barem explicat

2p

Scriu produsul folosind formula elementelor

P (x) \cdot P (y) = (1 x + y 01)

2p

Verific că elementul (2,1) este x+y

(P (x) \cdot P (y))_{21} = x \cdot 1 + 1 \cdot y = x + y

1p

Recunosc P(x+y)

P (x) \cdot P (y) = P (x + y)

R:

P (x) \cdot P (y) = P (x + y)

✍️ Rezolvare (ca la examen)

P (x) \cdot P (y) = (1 x 01) \cdot (1 y 01)

(P (x) \cdot P (y))_{11} = 1 \cdot 1 + 0 \cdot y = 1

(P (x) \cdot P (y))_{12} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0

(P (x) \cdot P (y))_{21} = x \cdot 1 + 1 \cdot y = x + y

(P (x) \cdot P (y))_{22} = x \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1

P (x) \cdot P (y) = (1 x + y 01) = P (x + y)

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Calculez elementele produsului

Matricele sunt triunghiulare inferior cu $1$ pe diagonală. Produsul lor rămâne de aceeași formă, deci trebuie doar să calculez elementul $(2, 1)$ .

(P (x) \cdot P (y))_{21} = x \cdot 1 + 1 \cdot y = x + y

Pasul 2. Scriu matricea completă și recunosc P(x+y)

Celelalte elemente sunt $1, 0, 1$ pe pozițiile corespunzătoare. Ansamblul e exact $P (x + y)$ .

P (x) \cdot P (y) = (1 x + y 01) = P (x + y)

🔴 Nivel 4 — Pentru notă maredeschide ▾

Se consideră matricea

Q (x) = 100 2 x 10 3 x^{2} 3 x 1

,

x \in R

. Arătați că

Q (x) \cdot Q (y) \neq = Q (x + y)

în general și determinați

Q (x) \cdot Q (y)

explicit.

📋 Barem explicat

1p

Calculez elementul (1,2) al produsului

(Q (x) \cdot Q (y))_{12} = 1 \cdot 2 y + 2 x \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 0 = 2 x + 2 y

1p

Calculez elementul (2,3)

(Q (x) \cdot Q (y))_{23} = 0 + 3 y + 3 x = 3 (x + y)

1p

Calculez elementul (1,3) — aici apare asimetria

(Q (x) \cdot Q (y))_{13} = 1 \cdot 3 y^{2} + 2 x \cdot 3 y + 3 x^{2} \cdot 1 = 3 (x^{2} + 2 x y + y^{2}) = 3 (x + y)^{2}

1p

Observ că Q(x+y)_12 = 2(x+y), deci coincide

2 x + 2 y = 2 (x + y)

1p

Compar (1,3) cu Q(x+y): Q(x+y)_13 = 3(x+y)^2

Q (x) \cdot Q (y) = Q (x + y) pentru aceast \overset{a}{˘} matrice, de fapt DA.

R:

Q (x) \cdot Q (y) \neq = Q (x + y)

✍️ Rezolvare (ca la examen)

Q (x) \cdot Q (y) = 100 2 x 10 3 x^{2} 3 x 1 \cdot 100 2 y 10 3 y^{2} 3 y 1

(Q (x) \cdot Q (y))_{12} = 1 \cdot 2 y + 2 x \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 0 = 2 (x + y)

(Q (x) \cdot Q (y))_{13} = 1 \cdot 3 y^{2} + 2 x \cdot 3 y + 3 x^{2} \cdot 1

(Q (x) \cdot Q (y))_{13} = 3 y^{2} + 6 x y + 3 x^{2} = 3 (x + y)^{2}

(Q (x) \cdot Q (y))_{23} = 0 \cdot 3 y^{2} + 1 \cdot 3 y + 3 x \cdot 1 = 3 (x + y)

Q (x) \cdot Q (y) = 100 2 (x + y) 10 3 (x + y)^{2} 3 (x + y) 1

Q (x) \cdot Q (y) = Q (x + y) pentru orice x, y \in R

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Scriu produsul și identific elementele nenule de calculat

Ambele matrice sunt triunghiulare superior cu $1$ pe diagonală. În produs, diagonala rămâne $1$ și sub diagonală rămân zerouri. Trebuie să calculez doar elementele $(1, 2), (1, 3), (2, 3)$ .

Q (x) \cdot Q (y) = 100 2 x 10 3 x^{2} 3 x 1 \cdot 100 2 y 10 3 y^{2} 3 y 1

Pasul 2. Calculez elementul (1,3) — acolo se vede dacă apare pătrat

Linia $1$ scalar cu coloana $3$ :

(Q (x) \cdot Q (y))_{13} = 1 \cdot 3 y^{2} + 2 x \cdot 3 y + 3 x^{2} \cdot 1 = 3 y^{2} + 6 x y + 3 x^{2} = 3 (x + y)^{2}

**Atenție!** Aici apare identitatea $3 (x^{2} + 2 x y + y^{2}) = 3 (x + y)^{2}$ . Coeficienții $1, 2, 1$ ai pătratului binomului apar exact din coeficienții $3 x^{2}, 2 x, 3$ ai matricei.

Pasul 3. Verific că matricea rezultat este Q(x+y)

Calculez și $(1, 2)$ și $(2, 3)$ : ambele dau $2 (x + y)$ și $3 (x + y)$ — exact ca în $Q (x + y)$ . Concluzia: familia $Q (x)$ este aditivă, la fel ca $A (x)$ din exercițiul principal.

Q (x) \cdot Q (y) = Q (x + y), pentru orice x, y \in R

🟣 Nivel 5 — Poli / Facultatea de matedeschide ▾

Se consideră matricea

R (x) = (cos x sin x - sin x cos x)

,

x \in R

. Arătați că

R (x) \cdot R (y) = R (x + y)

pentru orice

x, y \in R

.

📋 Barem explicat

1p

Scriu produsul R(x) R(y)

R (x) \cdot R (y) = (cos x sin x - sin x cos x) (cos y sin y - sin y cos y)

1p

Calculez elementul (1,1)

(R (x) \cdot R (y))_{11} = cos x cos y - sin x sin y

1p

Folosesc formula cosinusului sumei

cos x cos y - sin x sin y = cos (x + y)

1p

Calculez elementul (1,2) și folosesc formula sinusului sumei

(R (x) \cdot R (y))_{12} = - cos x sin y - sin x cos y = - sin (x + y)

1p

Recunosc R(x+y)

R (x) \cdot R (y) = (cos (x + y) sin (x + y) - sin (x + y) cos (x + y)) = R (x + y)

R:

R (x) \cdot R (y) = R (x + y)

✍️ Rezolvare (ca la examen)

R (x) \cdot R (y) = (cos x sin x - sin x cos x) \cdot (cos y sin y - sin y cos y)

(R (x) \cdot R (y))_{11} = cos x cos y - sin x sin y = cos (x + y)

(R (x) \cdot R (y))_{12} = - cos x sin y - sin x cos y = - sin (x + y)

(R (x) \cdot R (y))_{21} = sin x cos y + cos x sin y = sin (x + y)

(R (x) \cdot R (y))_{22} = - sin x sin y + cos x cos y = cos (x + y)

R (x) \cdot R (y) = (cos (x + y) sin (x + y) - sin (x + y) cos (x + y))

R (x) \cdot R (y) = R (x + y)

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Scriu produsul matricelor de rotație

Matricele $R (x)$ și $R (y)$ sunt matrice de rotație cu unghiurile $x$ și $y$ . Înmulțesc element cu element folosind formula $(A B)_{ij} = \sum_{k} a_{ik} b_{k j}$ .

(R (x) \cdot R (y))_{11} = cos x cos y - sin x sin y

Pasul 2. Recunosc formulele trigonometrice ale sumei

Expresia $cos x cos y - sin x sin y$ este exact formula $cos (x + y)$ . Similar, pentru elementul $(1, 2)$ voi folosi formula sinusului sumei.

(R (x) \cdot R (y))_{12} = - (sin x cos y + cos x sin y) = - sin (x + y)

Pasul 3. Asamblez matricea finală și recunosc R(x+y)

Toate cele patru elemente corespund exact formei $R (x + y)$ . Interpretare geometrică: produsul a două rotații plane este rotația cu suma unghiurilor — fapt intuitiv și verificat algebric.

R (x) \cdot R (y) = (cos (x + y) sin (x + y) - sin (x + y) cos (x + y)) = R (x + y)

1b. Morfism de matrice: A(x)·A(y) = A(x+y)