Bacalaureat Vara 2022 — Matematică M_mate-info — II1a

📖 Teorie necesară▾

Determinantul unei matrice triunghiulare superior

O matrice

A = (a_{ij}) \in M_{3} (R)

se numește triunghiulară superior dacă toate elementele de sub diagonala principală sunt nule:

a_{ij} = 0

pentru

i > j

. Determinantul unei asemenea matrice este produsul elementelor de pe diagonala principală.

det a_{11} 00 a_{12} a_{22} 0 a_{13} a_{23} a_{33} = a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33}

Regula lui Sarrus pentru matrice 3×3

Pentru o matrice pătratică de ordin

3

, determinantul se calculează ca suma a trei produse de pe diagonalele ,,coborâtoare'' minus suma a trei produse de pe diagonalele ,,urcătoare''.

det (A) = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33}

Dacă vrei să aprofundezi aceste noțiuni, apasă pe una din ele:
determinanti

📋 Barem explicat▾

2p

Înlocuiesc x=1 în matrice și scriu determinantul

A (1) = 100 - 1 10 1 - 2 1

2p

Aplic regula lui Sarrus sau dezvoltarea Laplace pe prima coloană

det (A (1)) = 1 \cdot 1 \cdot 1 + (- 1) \cdot (- 2) \cdot 0 + 1 \cdot 0 \cdot 0 - 0 \cdot 1 \cdot 1 - 0 \cdot (- 2) \cdot 1 - 0 \cdot (- 1) \cdot 1

1p

Simplific și obțin rezultatul final

det (A (1)) = 1 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = 1

R:

det (A (1)) = 1

⚠️ Greșeala tipică▾

⚠️ Regula lui Sarrus aplicată cu semne greșite sau ordine inversată

Cea mai frecventă greșeală este inversarea semnelor la diagonalele ,,urcătoare'': elevii uită să le scadă și le adună, sau confundă ordinea factorilor. Atenție! Primele trei produse (diagonalele coborâtoare) se ADUNĂ, ultimele trei (diagonalele urcătoare) se SCAD. Al doilea reflex greșit e să confunzi semnul minus al elementelor

- x

sau

- 2 x

cu semnul regulii — semnele din matrice trebuie puse exact așa cum apar, iar Sarrus e doar schema de permutare.

GREȘIT ✗

det (A (1)) = 1 \cdot 1 \cdot 1 + (- 1) (- 2) (0) + (1) (0) (0) + (1) (1) (0) + (1) (- 2) (1) + (- 1) (0) (1) = - 1

CORECT ✓

det (A (1)) = 1 \cdot 1 \cdot 1 + (- 1) (- 2) (0) + (1) (0) (0) - (1) (1) (0) - (1) (- 2) (1) - (- 1) (0) (1) = 1 + 0 + 0 - 0 + 2 - 0 = \dots

✍️ Rezolvare de nota 10 (ca la examen)▾

A (1) = 100 - 1 10 1 - 2 1

Aplic regula lui Sarrus:

det (A (1)) = 1 \cdot 1 \cdot 1 + (- 1) (- 2) \cdot 0 + 1 \cdot 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1 \cdot 0 - (- 1) \cdot 0 \cdot 1 - 1 \cdot (- 2) \cdot 0

det (A (1)) = 1 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = 1

👨‍🏫 Pas cu pas, ca la tablă▾

Pasul 1. Scriu matricea A(1) înlocuind x cu 1

Uitați-vă la matricea $A (x)$ . Ea depinde de parametrul $x$ care apare pe poziția $(1, 2)$ cu semnul minus, pe poziția $(1, 3)$ ridicat la pătrat și pe poziția $(2, 3)$ înmulțit cu $- 2$ . Ca să găsesc $A (1)$ , înlocuiesc fiecare $x$ cu valoarea $1$ . De ce încep cu asta? Deoarece nu pot calcula determinantul unei matrice cu parametru fără să știu mai întâi ce matrice am în față.

A (1) = 100 - 1 10 (1)^{2} - 2 \cdot 1 1 = 100 - 1 10 1 - 2 1

Atenție! Când $x = 1$ , avem $x^{2} = 1$ , nu $x^{2} = 2$ . E o greșeală frecventă la elevii agitați, care confundă $x^{2}$ cu $2 x$ . Pe poziția $(2, 3)$ apare $- 2 x = - 2 \cdot 1 = - 2$ .

Pasul 2. Aleg metoda de calcul — observ că matricea e triunghiulară

Înainte să mă arunc la Sarrus, mă opresc o clipă și mă uit atent la matrice. Ce observ? Toate elementele de sub diagonala principală sunt zero: $a_{21} = 0$ , $a_{31} = 0$ , $a_{32} = 0$ . Deci matricea $A (1)$ este **triunghiulară superior**. Și ce știu eu despre determinantul unei matrice triunghiulare? Că este egal cu produsul elementelor de pe diagonala principală. Asta îmi scurtează enorm calculul — nu am nevoie de Sarrus deloc.

det (A (1)) = a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1

Dar ca să fim și mai siguri, să facem verificarea și prin regula lui Sarrus, să vedem că iese același lucru.

Pasul 3. Verificare prin regula lui Sarrus

Regula lui Sarrus spune că pentru o matrice $3 \times 3$ , determinantul este suma celor trei diagonale coborâtoare minus suma celor trei diagonale urcătoare. Copiez primele două coloane la dreapta și calculez produsele — dar, cum atâtea elemente sunt zero, aproape toți termenii se anulează.

det (A (1)) = = 1 1 \cdot 1 \cdot 1 + = 0 (- 1) (- 2) (0) + = 0 (1) (0) (0) - = 0 (1) (1) (0) - = 0 (1) (- 2) (0) - = 0 (- 1) (0) (1)

Singurul termen nenul este $1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$ , ceea ce confirmă exact ce am obținut pe drumul scurt cu matricea triunghiulară. **Are sens?** Da — ambele metode dau același răspuns, așa cum trebuie. Concluzia: $det (A (1)) = 1$ , ceea ce trebuia demonstrat.

🏋️ Antrenamente▾

Alege nivelul potrivit ție. Dacă exercițiul principal ți-a ieșit din prima, sari direct la 🔴/🟣.

🟢 Nivel 1 — Încălziredeschide ▾

Se consideră matricea

B (x) = 100 x 20 - x 3 x - 1

, unde

x \in R

. Arătați că

det (B (2)) = - 2

.

📋 Barem explicat

2p

Înlocuiesc x=2 în matricea B(x)

B (2) = 100220 - 2 6 - 1

2p

Folosesc că matricea este triunghiulară superior

det (B (2)) = 1 \cdot 2 \cdot (- 1)

1p

Calculez produsul

det (B (2)) = - 2

R:

det (B (2)) = - 2

✍️ Rezolvare (ca la examen)

B (2) = 100220 - 2 6 - 1

Matricea B (2) este triunghiular \overset{a}{˘} superior.

det (B (2)) = 1 \cdot 2 \cdot (- 1)

det (B (2)) = - 2

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Construiesc matricea B(2)

Înlocuiesc $x$ cu $2$ în fiecare element al matricei $B (x)$ . Pe poziția $(1, 2)$ am $x = 2$ , pe $(1, 3)$ am $- x = - 2$ , pe $(2, 3)$ am $3 x = 6$ .

B (2) = 100220 - 2 6 - 1

Pasul 2. Observ că matricea e triunghiulară superior

Toate elementele de sub diagonala principală sunt zero. Deoarece matricea e triunghiulară, determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală: $1$ , $2$ , $- 1$ .

det (B (2)) = 1 \cdot 2 \cdot (- 1) = - 2

🔵 Nivel 2 — La fel ca la BACdeschide ▾

Se consideră matricea

C = 200 - 3 40 5 - 1 3

. Calculați

det (C)

folosind dezvoltarea Laplace după prima coloană.

📋 Barem explicat

2p

Scriu formula dezvoltării Laplace după prima coloană

det (C) = a_{11} A_{11} - a_{21} A_{21} + a_{31} A_{31}

2p

Calculez minorul corespunzător elementului a_11

A_{11} = 40 - 1 3 = 12

1p

Obțin rezultatul final

det (C) = 2 \cdot 12 = 24

R:

det (C) = 24

✍️ Rezolvare (ca la examen)

det (C) = a_{11} \cdot A_{11} - a_{21} \cdot A_{21} + a_{31} \cdot A_{31}

det (C) = 2 \cdot 40 - 1 3 - 0 + 0

det (C) = 2 \cdot (4 \cdot 3 - (- 1) \cdot 0)

det (C) = 2 \cdot 12

det (C) = 24

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Aleg coloana cu cele mai multe zerouri

Dezvoltarea Laplace merge pe orice linie sau coloană, dar cea mai economică e cea cu cele mai multe zerouri — pentru că fiecare zero face un termen să dispară. Aici, coloana întâi are două zerouri: $a_{21} = 0$ și $a_{31} = 0$ . Dezvolt deci după prima coloană.

det (C) = 2 \cdot A_{11} - 0 \cdot A_{21} + 0 \cdot A_{31} = 2 \cdot A_{11}

Pasul 2. Calculez minorul A_11

Minorul $A_{11}$ se obține ștergând linia $1$ și coloana $1$ din matricea $C$ , rămânând matricea $2 \times 2$ formată din elementele $a_{22}, a_{23}, a_{32}, a_{33}$ .

A_{11} = 40 - 1 3 = 4 \cdot 3 - (- 1) \cdot 0 = 12

Înlocuiesc și obțin $det (C) = 2 \cdot 12 = 24$ .

🟠 Nivel 3 — Un pas mai susdeschide ▾

Fie

D (t) = 210 t 31 0 t 2

. Determinați

t \in R

pentru care

det (D (t)) = 7

.

📋 Barem explicat

2p

Calculez determinantul lui D(t) folosind regula lui Sarrus

det (D (t)) = 12 + 0 + 0 - 0 - 2 t - t^{2}

2p

Pun condiția și obțin o ecuație de gradul al doilea

- t^{2} - 2 t + 12 = 7 ⟺ t^{2} + 2 t - 5 = 0

1p

Rezolv ecuația

t_{1, 2} = - 1 \pm 6

R:

t = 1

✍️ Rezolvare (ca la examen)

det (D (t)) = 2 \cdot 3 \cdot 2 + t \cdot t \cdot 0 + 0 \cdot 1 \cdot 1 - 0 \cdot 3 \cdot 0 - 2 \cdot t \cdot 1 - t \cdot 1 \cdot 2

det (D (t)) = 12 + 0 + 0 - 0 - 2 t - 2 t

det (D (t)) = 12 - 4 t

12 - 4 t = 7

- 4 t = - 5

t = \frac{5}{4}

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Calculez determinantul prin Sarrus

Aplic regula lui Sarrus: adun cele trei diagonale coborâtoare și scad cele trei urcătoare. Atenție la semne și la ordinea termenilor.

det (D (t)) = 2 \cdot 3 \cdot 2 + t \cdot t \cdot 0 + 0 \cdot 1 \cdot 1 - 0 \cdot 3 \cdot 0 - 2 \cdot t \cdot 1 - t \cdot 1 \cdot 2 = 12 - 4 t

Pasul 2. Pun condiția și rezolv ecuația

Pun $det (D (t)) = 7$ și rezolv ecuația liniară rezultată.

12 - 4 t = 7 ⟺ - 4 t = - 5 ⟺ t = \frac{5}{4}

🔴 Nivel 4 — Pentru notă maredeschide ▾

Fie matricea

E (a) = a 11 1 a 1 11 a

,

a \in R

. Arătați că

det (E (a)) = (a - 1)^{2} (a + 2)

.

📋 Barem explicat

1p

Calculez determinantul prin regula lui Sarrus

det (E (a)) = a^{3} + 1 + 1 - a - a - a

1p

Grupez termenii

det (E (a)) = a^{3} - 3 a + 2

1p

Observ că a = 1 este rădăcină

E (1) = 1 - 3 + 2 = 0

1p

Împart polinomul la (a-1)

a^{3} - 3 a + 2 = (a - 1) (a^{2} + a - 2)

1p

Factorizez și al doilea factor

a^{2} + a - 2 = (a - 1) (a + 2)

R:

det (E (a)) = (a - 1)^{2} (a + 2)

✍️ Rezolvare (ca la examen)

det (E (a)) = a \cdot a \cdot a + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1 - 1 \cdot a \cdot 1 - a \cdot 1 \cdot 1 - 1 \cdot 1 \cdot a

det (E (a)) = a^{3} + 1 + 1 - a - a - a

det (E (a)) = a^{3} - 3 a + 2

E (1) = 1 - 3 + 2 = 0, deci (a - 1) este factor.

a^{3} - 3 a + 2 = (a - 1) (a^{2} + a - 2)

a^{2} + a - 2 = (a - 1) (a + 2) deoarece r \overset{a}{˘} d \overset{a}{˘} cinile sunt 1 ș i - 2

det (E (a)) = (a - 1) (a - 1) (a + 2)

det (E (a)) = (a - 1)^{2} (a + 2)

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Calculez determinantul prin Sarrus

Aplic Sarrus direct. Diagonalele coborâtoare dau $a \cdot a \cdot a + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1 = a^{3} + 2$ . Diagonalele urcătoare dau $1 \cdot a \cdot 1 + a \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot a = 3 a$ .

det (E (a)) = a^{3} + 2 - 3 a = a^{3} - 3 a + 2

Pasul 2. Caut o rădăcină evidentă

Testez valorile $\pm 1, \pm 2$ (divizorii termenului liber). Pentru $a = 1$ : $1 - 3 + 2 = 0$ , deci $a = 1$ este rădăcină. Prin teorema factorului, $(a - 1)$ divide polinomul.

a^{3} - 3 a + 2 = (a - 1) (a^{2} + a - 2)

Pasul 3. Factorizez al doilea factor

Trinomul $a^{2} + a - 2$ are rădăcinile $1$ și $- 2$ (prin formulă sau observând că $1 \cdot (- 2) = - 2$ și $1 + (- 2) = - 1$ , dar aici nu merge direct — aplic formula).

a^{2} + a - 2 = (a - 1) (a + 2)

Combin cei doi factori și obțin $(a - 1)^{2} (a + 2)$ , ceea ce trebuia demonstrat.

🟣 Nivel 5 — Poli / Facultatea de matedeschide ▾

Calculați

det a + b a a a a + b a a a a + b

pentru

a, b \in R

.

📋 Barem explicat

1p

Adun toate coloanele la prima coloană

C_{1} \leftarrow C_{1} + C_{2} + C_{3}

1p

Prima coloană devine constantă

C_{1} = 3 a + b 3 a + b 3 a + b

1p

Scot factor comun (3a+b) din prima coloană

det = (3 a + b) 111 a a + b a a a a + b

1p

Scad prima linie din celelalte două

L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1}, L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1}

1p

Obțin matricea triunghiulară

det = (3 a + b) \cdot 1 \cdot b \cdot b = b^{2} (3 a + b)

R:

b^{2} (3 a + b)

✍️ Rezolvare (ca la examen)

C_{1} \leftarrow C_{1} + C_{2} + C_{3}

Suma pe fiecare linie: (a + b) + a + a = 3 a + b

det = 3 a + b 3 a + b 3 a + b a a + b a a a a + b

det = (3 a + b) 111 a a + b a a a a + b

L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1}, L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1}

det = (3 a + b) 100 a b 0 a 0 b

det = (3 a + b) \cdot 1 \cdot b \cdot b

det = b^{2} (3 a + b)

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Simetria matricei îmi sugerează să adun coloanele

Suma elementelor de pe fiecare linie este aceeași: $(a + b) + a + a = 3 a + b$ . Când observ această simetrie, transformarea $C_{1} \leftarrow C_{1} + C_{2} + C_{3}$ îmi dă pe prima coloană o constantă.

det = 3 a + b 3 a + b 3 a + b a a + b a a a a + b = (3 a + b) 111 a a + b a a a a + b

Pasul 2. Scad prima linie din celelalte două

Scopul e să fac zerouri sub diagonala principală. Scad $L_{1}$ din $L_{2}$ și din $L_{3}$ — coloana întâi va avea $0$ pe pozițiile $(2, 1)$ și $(3, 1)$ .

111 a a + b a a a a + b = 100 a b 0 a 0 b

Pasul 3. Aplic formula pentru matrice triunghiulară

Matricea e acum triunghiulară superior, determinantul e produsul elementelor de pe diagonală: $1 \cdot b \cdot b = b^{2}$ . Înmulțesc cu factorul $(3 a + b)$ scos mai devreme.

det = (3 a + b) \cdot b^{2} = b^{2} (3 a + b)

1a. Determinant de matrice triunghiulară