Bacalaureat Vara 2022 — Matematică M_mate-info — I6

📖 Teorie necesară▾

Aria triunghiului dreptunghic

Dacă triunghiul

A B C

are unghiul drept în

A

, atunci catetele sunt

A B

și

A C

, iar aria se calculează ca:

A_{A B C} = \frac{A B \cdot A C}{2}

Valorile remarcabile ale cosinusului

Valorile unghiurilor cu cosinus egal cu

0

:

cos α = 0 \Leftrightarrow α = \frac{π}{2} + k π, k \in Z

Dacă vrei să aprofundezi aceste noțiuni, apasă pe una din ele:
rezolvarea triunghiurilor

📋 Barem explicat▾

2p

Din cosA egal cu 0 deduc unghiul A si concluzia privind latura AC

cos A = 0 \Rightarrow A = \frac{π}{2} \Rightarrow A C = A B = 10

3p

Calculez aria triunghiului dreptunghic isoscel

A_{A B C} = \frac{A B \cdot A C}{2} = \frac{10 \cdot 10}{2} = 50

R:

A_{A B C} = 50

⚠️ Greșeala tipică▾

⚠️ Confuzia privind latura egală — isoscel cu AB egal AC față de AB egal BC

Triunghiul isoscel

A B C

cu

A B = 10

poate fi interpretat în două moduri:

A B = A C = 10

(isoscel față de vârful

A

) sau

A B = B C = 10

(isoscel față de vârful

B

). Deoarece

cos A = 0

implică unghi drept în

A

, iar triunghiul isoscel cu unghi drept în vârf este cel cu catetele egale (

A B = A C

), aceasta este interpretarea corectă. Confuzia dintre cele două variante de triunghi isoscel duce la un calcul greșit.

GREȘIT ✗

A_{A B C} = \frac{A B \cdot h _{B C}}{2} cu h_{B C} \neq = 10

CORECT ✓

A B = A C = 10 \Rightarrow A_{A B C} = \frac{10 \cdot 10}{2} = 50

✍️ Rezolvare de nota 10 (ca la examen)▾

Triunghi isoscel cu

A B = 10

,

cos A = 0

:

cos A = 0 \Rightarrow A = \frac{π}{2}

Unghi drept în

A

\Rightarrow A B = A C = 10

. Aria:

A_{A B C} = \frac{A B \cdot A C}{2} = \frac{10 \cdot 10}{2} = 50

👨‍🏫 Pas cu pas, ca la tablă▾

Pasul 1. Ce stim si ce deducem din cosA egal 0

Condiția $cos A = 0$ este cheia acestui exercițiu. Care unghi dintr-un triunghi are cosinusul egal cu $0$ ? Exact: $A = \frac{π}{2}$ , adică unghi drept.

Deci triunghiul $A B C$ are unghi drept în $A$ — e triunghi dreptunghic în $A$ . Latura $B C$ (opusă lui $A$ ) este ipotenuza.

Pasul 2. Deducerea celei de-a doua laturi egale din condiția de isoscel

Triunghiul este isoscel. Isoscel înseamnă că două laturi sunt egale. Știm $A B = 10$ . Unghiul drept este în $A$ , deci catetele sunt $A B$ și $A C$ . Triunghiul dreptunghic isoscel are catetele egale:

A B = A C = 10

Atenție! $B C$ este ipotenuza — $B C = A B 2 = 102$ — deci $B C \neq = A B$ . Latura egală cu $A B$ este $A C$ , nu $B C$ .

Pasul 3. Calculez aria si concluzionez

Aria unui triunghi dreptunghic este jumătatea produsului catetelor. Catetele sunt $A B = 10$ și $A C = 10$ :

A_{A B C} = \frac{A B \cdot A C}{2} = \frac{10 \cdot 10}{2} = 50

Deci $A_{A B C} = 50$ , ceea ce trebuia demonstrat.

🏋️ Antrenamente▾

Alege nivelul potrivit ție. Dacă exercițiul principal ți-a ieșit din prima, sari direct la 🔴/🟣.

🟢 Nivel 1 — Încălziredeschide ▾

Se consideră triunghiul isoscel

D E F

, cu

D E = 8

și

cos D = 0

. Arătați că aria triunghiului

D E F

este egală cu

32

.

📋 Barem explicat

2p

Deducerea unghiului drept si a latuii egale

cos D = 0 \Rightarrow D = \frac{π}{2} \Rightarrow D E = D F = 8

3p

Calculul ariei

A_{D E F} = \frac{D E \cdot D F}{2} = \frac{8 \cdot 8}{2} = 32

R:

A_{D E F} = 32

✍️ Rezolvare (ca la examen)

cos D = 0 \Rightarrow D = \frac{π}{2}

D E = D F = 8 (isoscel dreptunghic \overset{ı}{ˆ} n D)

A_{D E F} = \frac{D E \cdot D F}{2} = \frac{8 \cdot 8}{2} = 32

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Aplic aceeasi strategie ca la exercitiul principal

$cos D = 0 \Rightarrow D = \frac{π}{2}$ . Triunghiul isoscel dreptunghic în $D$ are catetele egale: $D E = D F = 8$ .

A_{D E F} = \frac{8 \cdot 8}{2} = 32

Pasul 2. Verific

Calculul e identic structural cu exercițiul principal, doar latura e $8$ în loc de $10$ . Aria $= \frac{64}{2} = 32$ ✓.

Aria $= \frac{64}{2} = 32$ — de două ori mai mică decât exercițiul principal cu $10$ , ceea ce are sens: $\frac{8 ^{2}}{2} = 32 < 50$ .

🔵 Nivel 2 — La fel ca la BACdeschide ▾

Fie triunghiul dreptunghic

A B C

cu unghiul drept în

A

. Știind că

A B = 6

și

B C = 10

, calculați aria triunghiului

A B C

.

📋 Barem explicat

2p

Calculul celei de-a doua catete cu teorema lui Pitagora

A C^{2} = B C^{2} - A B^{2} = 100 - 36 = 64 \Rightarrow A C = 8

2p

Formula ariei triunghiului dreptunghic

A_{A B C} = \frac{A B \cdot A C}{2} = \frac{6 \cdot 8}{2}

1p

Rezultatul

A_{A B C} = 24

R:

A_{A B C} = 24

✍️ Rezolvare (ca la examen)

Unghiul drept în

A

\Rightarrow

B C

e ipotenuza. Aplic Pitagora:

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} \Rightarrow 100 = 36 + A C^{2} \Rightarrow A C^{2} = 64 \Rightarrow A C = 8

A_{A B C} = \frac{A B \cdot A C}{2} = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Găsesc cealalta cateta cu Pitagora

Triunghiul e dreptunghic în $A$ : catetele sunt $A B = 6$ și $A C = ?$ , ipotenuza e $B C = 10$ . Aplic teorema lui Pitagora:

A C = B C^{2} - A B^{2} = 100 - 36 = 64 = 8

Pasul 2. Calculez aria si verific

A_{A B C} = \frac{A B \cdot A C}{2} = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24

Tripletul $(6, 8, 10)$ este o tripleta pitagoreică de bază (multiplu de $3, 4, 5$ ) — verificare rapidă: $36 + 64 = 100$ ✓.

🟠 Nivel 3 — Un pas mai susdeschide ▾

Fie triunghiul isoscel

A B C

cu

A B = A C = 13

și

B C = 10

. Calculați aria triunghiului

A B C

.

📋 Barem explicat

2p

Calculul inaltimii din A pe BC cu Pitagora

h_{A}^{2} = A B^{2} - (\frac{B C}{2})^{2} = 169 - 25 = 144 \Rightarrow h_{A} = 12

2p

Formula ariei

A_{A B C} = \frac{B C \cdot h _{A}}{2} = \frac{10 \cdot 12}{2}

1p

Rezultatul

A_{A B C} = 60

R:

A_{A B C} = 60

✍️ Rezolvare (ca la examen)

Înălțimea

h_{A}

din

A

bisectează

B C

(proprietate isoscel):

h_{A}^{2} = A B^{2} - (\frac{B C}{2})^{2} = 1 3^{2} - 5^{2} = 169 - 25 = 144

h_{A} = 12

A_{A B C} = \frac{B C \cdot h _{A}}{2} = \frac{10 \cdot 12}{2} = 60

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Găsesc inaltimea din A folosind proprietatea isoscelului

Triunghiul isoscel cu $A B = A C$ : înălțimea din $A$ pe $B C$ bisectează $B C$ (axa de simetrie). Deci piciorul înălțimii $D$ este mijlocul lui $B C$ : $B D = D C = 5$ .

Aplic teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic $A B D$ :

h_{A} = A B^{2} - B D^{2} = 169 - 25 = 144 = 12

Pasul 2. Calculez aria si verific

A_{A B C} = \frac{B C \cdot h _{A}}{2} = \frac{10 \cdot 12}{2} = 60

Tripletul $(5, 12, 13)$ e o tripleta pitagoreică clasică — verificare: $25 + 144 = 169$ ✓.

🔴 Nivel 4 — Pentru notă maredeschide ▾

Fie triunghiul

A B C

cu

A B = 10

,

A C = 6

,

B C = 8

. Arătați că triunghiul

A B C

este dreptunghic și calculați raza cercului circumscris triunghiului

A B C

.

📋 Barem explicat

1p

Verificarea relatiei pitagoreice

A C^{2} + B C^{2} = 36 + 64 = 100 = A B^{2}

1p

Concluzia dreptunghic prin reciproca Pitagora

\Rightarrow △ A B C dreptunghic \overset{ı}{ˆ} n C

1p

Proprietatea razei cercului circumscris dreptunghicului

R = \frac{A B}{2} (ipotenuza = diametrul)

1p

Valoarea razei

R = \frac{10}{2} = 5

R:

$R = 5$

✍️ Rezolvare (ca la examen)

A C^{2} + B C^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100 = 1 0^{2} = A B^{2}

Prin reciproca teoremei lui Pitagora \Rightarrow △ A B C dreptunghic \overset{ı}{ˆ} n C

Proprietate: în triunghiul dreptunghic, ipotenuza = diametrul cercului circumscris.

R = \frac{A B}{2} = \frac{10}{2} = 5

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Demonstrez ca triunghiul este dreptunghic

Verific dacă tripla $(6, 8, 10)$ satisface teorema lui Pitagora. Cel mai mare număr e $10 = A B$ , deci testez dacă $A B^{2} = A C^{2} + B C^{2}$ :

A C^{2} + B C^{2} = 36 + 64 = 100 = A B^{2} ✓

Prin reciproca teoremei lui Pitagora, triunghiul e dreptunghic, cu unghiul drept opus lui $A B$ — adică în $C$ .

Pasul 2. Calculez raza cercului circumscris

Proprietate fundamentală: în orice triunghi dreptunghic, ipotenuza este diametrul cercului circumscris (teorema Thales). Deci $2 R = A B = 10$ :

R = \frac{A B}{2} = 5

Verificare prin formula generală: $R = \frac{A B C}{4 \cdot A} = \frac{A B \cdot A C \cdot B C}{4 \cdot \frac{A C \cdot B C}{2}} = \frac{A B}{2} = 5$ ✓

Pasul 3. Verific prin formula generala a razei

Verific prin formula generală $R = \frac{A B \cdot A C \cdot B C}{4 A}$ . Aria: $A = \frac{A C \cdot B C}{2} = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24$ .

R = \frac{10 \cdot 6 \cdot 8}{4 \cdot 24} = \frac{480}{96} = 5 ✓

🟣 Nivel 5 — Poli / Facultatea de matedeschide ▾

Fie triunghiul isoscel

A B C

cu

A B = A C = a > 0

și

∠ B A C = α

,

α \in (0, \frac{π}{2})

. Pe latura

B C

, în exterior față de triunghiul

A B C

, se construiește triunghiul echilateral

B C D

. Exprimați aria figurii

A B D C

în funcție de

a

și

α

.

📋 Barem explicat

1p

Aria triunghiului ABC cu formula sinusului

A_{A B C} = \frac{a ^{2}}{2} sin α

1p

Latura BC cu legea cosinusurilor

B C^{2} = 2 a^{2} (1 - cos α)

1p

Aria triunghiului echilateral BCD

A_{B C D} = \frac{a ^{2} 3}{2} (1 - cos α)

1p

Aria totala a figurii ABDC

A_{A B D C} = \frac{a ^{2}}{2} (sin α + 3 (1 - cos α))

R:

S = \frac{a ^{2}}{2} (sin α + 3 (1 - cos α))

✍️ Rezolvare (ca la examen)

Aria

△ A B C

: laturile

A B = A C = a

, unghiul cuprins

α

:

A_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot sin α = \frac{a ^{2}}{2} sin α

Calculez

B C

cu legea cosinusurilor în

△ A B C

:

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 \cdot A B \cdot A C \cdot cos α = 2 a^{2} - 2 a^{2} cos α = 2 a^{2} (1 - cos α)

Aria triunghiului echilateral

B C D

cu latura

B C

:

A_{B C D} = \frac{3}{4} B C^{2} = \frac{3}{4} \cdot 2 a^{2} (1 - cos α) = \frac{a ^{2} 3}{2} (1 - cos α)

Aria totală a figurii

A B D C

(suma celor două triunghiuri):

A_{A B D C} = \frac{a ^{2}}{2} sin α + \frac{a ^{2} 3}{2} (1 - cos α) = \frac{a ^{2}}{2} (sin α + 3 (1 - cos α))

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Calculez aria triunghiului ABC

Triunghiul $A B C$ cu $A B = A C = a$ și unghiul cuprins $α$ la vârful $A$ . Folosesc formula ariei cu sinusul:

A_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C \cdot sin α = \frac{a ^{2} sin α}{2}

Pasul 2. Calculez latura BC cu legea cosinusurilor

Triunghiul echilateral $B C D$ are latura $B C$ . Calculez $B C$ cu legea cosinusurilor în $△ A B C$ :

B C^{2} = a^{2} + a^{2} - 2 a^{2} cos α = 2 a^{2} (1 - cos α)

Atenție: nu calculez $B C$ explicit (ar apărea un radical greu de simplificat) — lucrez direct cu $B C^{2}$ .

Pasul 3. Calculez aria triunghiului echilateral si adun

Aria triunghiului echilateral cu latura $ℓ$ : $A = \frac{3}{4} ℓ^{2}$ . Pun $ℓ^{2} = B C^{2} = 2 a^{2} (1 - cos α)$ :

A_{B C D} = \frac{3}{4} \cdot 2 a^{2} (1 - cos α) = \frac{a ^{2} 3}{2} (1 - cos α)

Aria figurii $A B D C$ = suma celor două triunghiuri (non-suprapuse):

A_{A B D C} = \frac{a ^{2}}{2} sin α + \frac{a ^{2} 3}{2} (1 - cos α) = \frac{a ^{2}}{2} (sin α + 3 (1 - cos α))

6. Triunghi isoscel și arie