Bacalaureat Vara 2022 — Matematică M_mate-info — I5

📖 Teorie necesară▾

Condiția de apartenență a unui punct la o dreaptă

Punctul

M (x_{0}, y_{0})

aparține dreptei de ecuație

y = m x + n

dacă și numai dacă coordonatele sale satisfac ecuația dreptei:

M \in d \Leftrightarrow y_{0} = m \cdot x_{0} + n

Dacă vrei să aprofundezi aceste noțiuni, apasă pe una din ele:
ecuatiile dreptei in plan

📋 Barem explicat▾

3p

Condiția de apartenta: înlocuiesc coordonatele lui A in ecuația dreptei

A \in d \Rightarrow a = 3 a - 2

2p

Rezolv ecuația si obțin a

a - 3 a = - 2 \Rightarrow - 2 a = - 2 \Rightarrow a = 1

R:

a = 1

⚠️ Greșeala tipică▾

⚠️ Înlocuirea greșită a coordonatelor — confundarea lui x cu y

Punctul

A (a, a)

are

x_{A} = a

și

y_{A} = a

. Greșeala clasică este să se pună

x = a

în ecuație și să se obțină

y = 3 a - 2

, fără a egaliza cu

y_{A} = a

. Condiția de apartenență înseamnă că COORDONATA

y

a punctului

A

trebuie să fie EGALĂ cu valoarea

3 x - 2

calculată în

x = x_{A} = a

.

GREȘIT ✗

y = 3 a - 2

CORECT ✓

a = 3 a - 2 \Rightarrow a = 1

✍️ Rezolvare de nota 10 (ca la examen)▾

A (a, a) \in d : y = 3 x - 2 \Rightarrow

înlocuiesc

x = a

,

y = a

:

a = 3 a - 2

- 2 a = - 2

a = 1

👨‍🏫 Pas cu pas, ca la tablă▾

Pasul 1. Ce înseamnă ca un punct aparține unei drepte?

Dreapta $d : y = 3 x - 2$ este locul geometric al tuturor punctelor $(x, y)$ care satisfac această relație. Un punct $P (x_{0}, y_{0})$ aparține dreptei dacă și numai dacă, înlocuind $x_{0}$ în loc de $x$ și $y_{0}$ în loc de $y$ , relația devine adevărată.

Punctul $A (a, a)$ : ambele coordonate sunt egale cu $a$ — asta e o restricție specială. Punem $x = a$ și $y = a$ în ecuația dreptei.

Pasul 2. Înlocuiesc coordonatele si rezolv ecuația

Înlocuiesc $x \leftarrow a$ și $y \leftarrow a$ în $y = 3 x - 2$ :

a = 3 \cdot a - 2

Rezolv ecuația liniară în $a$ :

a - 3 a = - 2 \Rightarrow - 2 a = - 2 \Rightarrow a = 1

Pasul 3. Verific soluția gasita

Verific: dacă $a = 1$ , atunci $A = (1, 1)$ . Înlocuiesc în dreapta $d$ : $y = 3 \cdot 1 - 2 = 3 - 2 = 1$ . Ordonata punctului $A$ este $1$ , și ecuația dă $1$ pentru $x = 1$ . ✓

Deci $A (1, 1)$ aparține dreptei $y = 3 x - 2$ . Are sens geometric: panta dreptei e $3$ , adică pentru fiecare unitate la dreapta pe $O x$ , crește $3$ pe $O y$ — punctul $(1, 1)$ e pe aceasta dreaptă.

🏋️ Antrenamente▾

Alege nivelul potrivit ție. Dacă exercițiul principal ți-a ieșit din prima, sari direct la 🔴/🟣.

🟢 Nivel 1 — Încălziredeschide ▾

În reperul cartezian

x O y

se consideră dreapta

d

de ecuație

y = 2 x + 3

și punctul

B (b, b)

, unde

b

este număr real. Determinați numărul real

b

, știind că punctul

B

aparține dreptei

d

.

📋 Barem explicat

3p

Condiția de apartenenta

B \in d \Rightarrow b = 2 b + 3

2p

Rezolv ecuația

b - 2 b = 3 \Rightarrow - b = 3 \Rightarrow b = - 3

R:

b = - 3

✍️ Rezolvare (ca la examen)

b = 2 b + 3

b - 2 b = 3 \Rightarrow - b = 3 \Rightarrow b = - 3

Verific:

B (- 3, - 3) \in d

?

y = 2 (- 3) + 3 = - 3 = b

✓

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Aplic condiția de apartenenta

Același tip ca la exercițiul principal. $B (b, b) \in d : y = 2 x + 3$ înseamnă că înlocuiesc $x = b$ și $y = b$ :

b = 2 b + 3 \Rightarrow - b = 3 \Rightarrow b = - 3

Pasul 2. Verific soluția

Dacă $b = - 3$ , atunci $B = (- 3, - 3)$ . Înlocuiesc în $d$ : $y = 2 (- 3) + 3 = - 6 + 3 = - 3$ . Ordonata punctului $B$ este $- 3$ , iar ecuația dă $- 3$ pentru $x = - 3$ . ✓

Verific: $B (- 3, - 3)$ , $d : y = 2 (- 3) + 3 = - 3$ ✓ — punctul e pe dreaptă.

🔵 Nivel 2 — La fel ca la BACdeschide ▾

În reperul cartezian

x O y

se consideră dreapta

d

de ecuație

y = 4 x + 1

și punctul

B (b, 2 b - 1)

, unde

b

este număr real. Determinați numărul real

b

, știind că punctul

B

aparține dreptei

d

.

📋 Barem explicat

3p

Condiția de apartenenta: ordonata lui B egala cu valoarea ecuației in abscisa lui B

2 b - 1 = 4 b + 1

2p

Rezolv ecuația

2 b - 4 b = 1 + 1 \Rightarrow - 2 b = 2 \Rightarrow b = - 1

R:

b = - 1

✍️ Rezolvare (ca la examen)

B (b, 2 b - 1) \in d : y = 4 x + 1

. Înlocuiesc

x = b

și

y = 2 b - 1

:

2 b - 1 = 4 b + 1

2 b - 4 b = 1 + 1

- 2 b = 2 \Rightarrow b = - 1

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Identific coordonatele lui B si aplic condiția

Punctul $B$ are coordonatele $x_{B} = b$ și $y_{B} = 2 b - 1$ — ambele exprimate în funcție de $b$ . Înlocuiesc în ecuația dreptei:

2 b - 1 = 4 \cdot b + 1

Pasul 2. Rezolv si verific

- 2 b = 2 \Rightarrow b = - 1

Verific: $B (- 1, - 3)$ . Ecuația dreptei pentru $x = - 1$ : $y = 4 (- 1) + 1 = - 3$ ✓.

🟠 Nivel 3 — Un pas mai susdeschide ▾

Se consideră punctele

A (1, 2)

și

B (3, k)

, cu

k \in R

. Dreapta

A B

intersectează axa

O y

în punctul

C (0, 5)

. Determinați

k

.

📋 Barem explicat

2p

Ecuația dreptei prin A si C

m = \frac{2 - 5}{1 - 0} = - 3 \Rightarrow y = - 3 x + 5

2p

Condiția B pe dreapta

k = - 3 \cdot 3 + 5 = - 9 + 5

1p

Valoarea lui k

k = - 4

R:

k = - 1

✍️ Rezolvare (ca la examen)

Calculez panta dreptei

A B

folosind punctele

A (1, 2)

și

C (0, 5)

(ambele pe dreaptă):

m = \frac{2 - 5}{1 - 0} = \frac{- 3}{1} = - 3

Ecuația dreptei (

n = 5

din

C (0, 5)

e intersecția cu

O y

):

y = - 3 x + 5

B (3, k) \in

dreaptă

\Rightarrow

:

k = - 3 \cdot 3 + 5 = - 9 + 5 = - 4

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Găsesc ecuația dreptei folosind A si C

Știm că dreapta trece prin $A (1, 2)$ și $C (0, 5)$ . Punctul $C (0, 5)$ e pe $O y$ — asta înseamnă că ordonata la origine e $n = 5$ . Calculez panta:

m = \frac{2 - 5}{1 - 0} = - 3 \Rightarrow d : y = - 3 x + 5

Pasul 2. Aplic condiția de apartenta pentru B si verific

Acum că am ecuația dreptei, pun $B (3, k)$ pe ea:

k = - 3 \cdot 3 + 5 = - 4

Verific: $A$ : $y = - 3 + 5 = 2$ ✓; $B (3, - 4)$ : $y = - 9 + 5 = - 4$ ✓; $C (0, 5)$ : $y = 5$ ✓.

🔴 Nivel 4 — Pentru notă maredeschide ▾

Determinați valorile lui

a \in R

pentru care punctele

A (a, a + 1)

,

B (2 a, a)

și

C (1, - 1)

sunt coliniare.

📋 Barem explicat

1p

Calculul pantei AB in funcție de a

m_{A B} = \frac{a - ( a + 1 )}{2 a - a} = \frac{- 1}{a}, a \neq = 0

1p

Calculul pantei AC in funcție de a

m_{A C} = \frac{- 1 - ( a + 1 )}{1 - a} = \frac{a + 2}{a - 1}

1p

Condiția de coliniaritate si ecuația patratice

\frac{- 1}{a} = \frac{a + 2}{a - 1} \Rightarrow a^{2} + 3 a - 1 = 0

1p

Soluțiile ecuației

a = \frac{- 3 \pm 13}{2}

R:

a = \frac{- 3 \pm 13}{2}

✍️ Rezolvare (ca la examen)

m_{A B}

: abscisa

A

e

a

, abscisa

B

e

2 a

, diferența

= a

(presupun

a \neq = 0

):

m_{A B} = \frac{a - ( a + 1 )}{2 a - a} = \frac{- 1}{a}

m_{A C} = \frac{- 1 - ( a + 1 )}{1 - a} = \frac{- a - 2}{1 - a} = \frac{a + 2}{a - 1}

Condiție coliniaritate

m_{A B} = m_{A C}

:

\frac{- 1}{a} = \frac{a + 2}{a - 1}

- (a - 1) = a (a + 2)

- a + 1 = a^{2} + 2 a

a^{2} + 3 a - 1 = 0

a = \frac{- 3 \pm 9 + 4}{2} = \frac{- 3 \pm 13}{2}

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Ce înseamnă coliniaritate si ce strategie aleg

Trei puncte sunt coliniare dacă stau pe aceeași dreaptă, adică panta segmentului $A B$ = panta segmentului $A C$ . Calculez ambele pante în funcție de $a$ .

Atenție! Dacă $a = 0$ , atunci $A = (0, 1)$ , $B = (0, 0)$ — $A$ și $B$ au aceeași abscisă, panta $A B$ este $\infty$ . Verific separat: $A (0, 1)$ , $B (0, 0)$ , $C (1, - 1)$ — $A B$ e verticală, $C$ nu e pe ea. Deci $a = 0$ nu dă coliniaritate.

Pasul 2. Calculez pantele AB si AC

m_{A B} = \frac{a - ( a + 1 )}{2 a - a} = \frac{- 1}{a}

m_{A C} = \frac{- 1 - ( a + 1 )}{1 - a} = \frac{- ( a + 2 )}{1 - a} = \frac{a + 2}{a - 1}

Pasul 3. Egalez si rezolv ecuația patratice

\frac{- 1}{a} = \frac{a + 2}{a - 1} \Rightarrow - (a - 1) = a (a + 2) \Rightarrow a^{2} + 3 a - 1 = 0

a = \frac{- 3 \pm 13}{2}

Ambele valori sunt reale și nenule (verificabil ușor), deci sunt soluții valide.

🟣 Nivel 5 — Poli / Facultatea de matedeschide ▾

Se consideră dreapta

d : y = m x + 1

, cu

m \in R

,

m \neq = 0

. Dreapta

d

intersectează axa

O x

în punctul

A

și axa

O y

în punctul

B

. Fie

M

mijlocul segmentului

A B

. Determinați locul geometric al punctului

M

când

m

variază.

📋 Barem explicat

1p

Calculul intersecției cu Ox (punctul A)

y = 0 \Rightarrow x = - \frac{1}{m} \Rightarrow A = (- \frac{1}{m}, 0)

1p

Intersecția cu Oy este B = (0,1) fix

B = (0, 1) fix, indiferent de m

1p

Coordonatele mijlocului M al segmentului AB

x_{M} = - \frac{1}{2 m}, y_{M} = \frac{1}{2}

1p

Locul geometric al punctului M

y_{M} = \frac{1}{2} = const. \Rightarrow dreapta y = \frac{1}{2}, x \neq = 0

R:

y = \frac{1}{2}, x \neq = 0

✍️ Rezolvare (ca la examen)

Dreapta

d : y = m x + 1

,

m \neq = 0

. Intersecție cu

O x

(y=0):

0 = m x + 1 \Rightarrow x = - \frac{1}{m} \Rightarrow A = (- \frac{1}{m}, 0)

Intersecție cu

O y

(

x = 0

):

B = (0, 1)

.

Mijlocul

M

al segmentului

A B

:

x_{M} = \frac{- \frac{1}{m} + 0}{2} = - \frac{1}{2 m}, y_{M} = \frac{0 + 1}{2} = \frac{1}{2}

y_{M} = \frac{1}{2}

este constantă indiferent de

m

— locul geometric este dreapta

y = \frac{1}{2}

,

x \neq = 0

.

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Găsesc punctele A si B in funcție de m

Dreapta $d : y = m x + 1$ trece prin $B (0, 1)$ indiferent de $m$ (când $x = 0$ , $y = 1$ întotdeauna). Acesta e un punct fix!

Punctul $A$ = intersecția cu $O x$ ( $y = 0$ ): $0 = m x + 1 \Rightarrow x = - \frac{1}{m}$ (există pentru $m \neq = 0$ ).

A = (- \frac{1}{m}, 0), B = (0, 1)

Pasul 2. Calculez coordonatele mijlocului M

x_{M} = \frac{- \frac{1}{m} + 0}{2} = - \frac{1}{2 m}

y_{M} = \frac{0 + 1}{2} = \frac{1}{2}

Observ că $y_{M} = \frac{1}{2}$ nu depinde de $m$ ! Indiferent cum variază $m$ , $M$ stă mereu la înălțimea $\frac{1}{2}$ .

Pasul 3. Descriu locul geometric si verific

Când $m$ variază în $R^{*}$ , $x_{M} = - \frac{1}{2 m}$ poate lua orice valoare reală nenulă. Deci $M$ parcurge dreapta $y = \frac{1}{2}$ , cu excluderea originii (care ar corespunde $m \to \pm \infty$ ).

Locul geometric este dreapta $y = \frac{1}{2}$ , $x \neq = 0$ .

Are sens? $B$ e fix în $(0, 1)$ — mijlocul $A B$ stă mereu la jumătatea înălțimii dintre $0$ și $1$ , adică la $\frac{1}{2}$ . Elegant!

5. Punct pe dreaptă în reper