Bacalaureat Vara 2022 — Matematică M_mate-info — I4

📖 Teorie necesară▾

Formula probabilității clasice (Laplace)

Când toate cazurile sunt egal posibile, probabilitatea evenimentului

A

se calculează ca raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile:

P (A) = \frac{∣ A ∣}{∣Ω∣}

Mulțimea numerelor naturale de două cifre

Numerele naturale de două cifre sunt

10, 11, \dots, 99

, deci mulțimea lor are

90

de elemente:

∣Ω∣ = 99 - 10 + 1 = 90

Dacă vrei să aprofundezi aceste noțiuni, apasă pe una din ele:
evenimente si probabilitati

📋 Barem explicat▾

2p

Numărul cazurilor posibile: mulțimea cifrelor de 2 cifre

∣Ω∣ = 90

3p

Cazuri favorabile: cifra zecilor in mulțimea divizorilor lui 6 din cifre 1 la 9

div (6) \cap {1, \dots, 9} = {1, 2, 3, 6} \Rightarrow ∣ A ∣ = 4 \cdot 10 = 40

0p

Probabilitatea evenimentului

p = \frac{40}{90} = \frac{4}{9}

R:

\frac{4}{9}

⚠️ Greșeala tipică▾

⚠️ Numărarea incorectă a cazurilor posibile — includerea numerelor de o cifră

O greșeală frecventă este să se considere drept cazuri posibile toate numerele naturale de la

1

la

99

, adică

99

de elemente. Numerele de o singură cifră (

1

–

9

) nu sunt numere de două cifre și nu intră în

Ω

. Mulțimea numerelor naturale de două cifre începe de la

10

, nu de la

1

.

GREȘIT ✗

∣Ω∣ = 99

CORECT ✓

∣Ω∣ = 99 - 10 + 1 = 90

✍️ Rezolvare de nota 10 (ca la examen)▾

Ω = {10, 11, \dots, 99} \Rightarrow ∣Ω∣ = 90

Div (6) = {1, 2, 3, 6}

Cifra zecilor

\in {1, 2, 3, 6}

, cifra unităților

\in {0, 1, \dots, 9}

:

∣ A ∣ = 4 \cdot 10 = 40

p = \frac{∣ A ∣}{∣Ω∣} = \frac{40}{90} = \frac{4}{9}

👨‍🏫 Pas cu pas, ca la tablă▾

Pasul 1. Ce ne cere problema si cum gandim spatiul evenimentelor

Alegem un număr la întâmplare din mulțimea numerelor naturale de două cifre. Care sunt toate numerele posibile? De la $10$ la $99$ — exact $90$ de numere. Atenție! Nu de la $1$ la $99$ (aceea include numere de o cifră). Deci $c a r d (Ω) = 90$ .

Condiția: cifra zecilor să fie divizor al lui $6$ . Trebuie să știm care sunt divizorii lui $6$ : $6 = 1 \cdot 6 = 2 \cdot 3$ , deci $div (6) = {1, 2, 3, 6}$ .

Cifra zecilor a unui număr de două cifre poate lua valorile $1, 2, 3, \dots, 9$ . Din acestea, care sunt în ${1, 2, 3, 6}$ ? Exact $4$ valori: $1$ , $2$ , $3$ și $6$ .

Pasul 2. Numaram cazurile favorabile

Un număr de două cifre arată ca $\overline{ab}$ , unde $a$ e cifra zecilor și $b$ e cifra unităților. Condiția este pe $a$ : $a \in {1, 2, 3, 6}$ — adică $4$ alegeri pentru $a$ . Cifra $b$ poate fi orice cifră de la $0$ la $9$ — adică $10$ alegeri pentru $b$ .

Prin principiul înmulțirii (fiecare alegere a lui $a$ se combină cu fiecare alegere a lui $b$ ):

∣ A ∣ = 4 \cdot 10 = 40

Concret: $10$ – $19$ (cifra zecilor $1$ ), $20$ – $29$ (cifra zecilor $2$ ), $30$ – $39$ (cifra zecilor $3$ ), $60$ – $69$ (cifra zecilor $6$ ) — câte $10$ numere per grup.

Pasul 3. Aplic formula probabilitatii si verific rezultatul

Aplic formula lui Laplace: raportul dintre cazurile favorabile și cele posibile:

p = \frac{∣ A ∣}{∣Ω∣} = \frac{40}{90} = \frac{4}{9}

Are sens? $\frac{4}{9} \approx 0, 44$ — adică aproximativ $44%$ din numerele de două cifre satisfac condiția. Cum cifra zecilor poate fi $1$ – $9$ ( $9$ valori posibile) și $4$ din ele sunt favorabile, $\frac{4}{9}$ e corect și intuitiv.

🏋️ Antrenamente▾

Alege nivelul potrivit ție. Dacă exercițiul principal ți-a ieșit din prima, sari direct la 🔴/🟣.

🟢 Nivel 1 — Încălziredeschide ▾

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor divizor al numărului

12

.

📋 Barem explicat

2p

Numărul cazurilor posibile

∣Ω∣ = 90

2p

Divizorii lui 12 printre cifrele zecilor

div (12) \cap {1, \dots, 9} = {1, 2, 3, 4, 6} \Rightarrow ∣ A ∣ = 5 \cdot 10 = 50

1p

Probabilitatea

p = \frac{50}{90} = \frac{5}{9}

R:

\frac{5}{9}

✍️ Rezolvare (ca la examen)

∣Ω∣ = 90

div (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} \Rightarrow div (12) \cap {1, \dots, 9} = {1, 2, 3, 4, 6}

∣ A ∣ = 5 \cdot 10 = 50

p = \frac{50}{90} = \frac{5}{9}

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Stabilesc spatiul evenimentelor si condiția

$Ω$ = numerele naturale de două cifre, deci $c a r d (Ω) = 90$ . Condiția: cifra zecilor să fie divizor al lui $12$ .

Divizorii lui $12$ : ${1, 2, 3, 4, 6, 12}$ . Din cifrele valide ale zecilor ( $1$ – $9$ ): ${1, 2, 3, 4, 6}$ — cinci valori.

Pasul 2. Calculez cazurile favorabile si probabilitatea

Pentru fiecare din cele $5$ valori ale cifrei zecilor, cifra unităților poate fi orice de la $0$ la $9$ :

∣ A ∣ = 5 \cdot 10 = 50 \Rightarrow p = \frac{50}{90} = \frac{5}{9}

Pasul 3. Verificare

Are sens? $12$ are mai mulți divizori sub $10$ decât $6$ ( $5$ vs $4$ ), deci probabilitatea $\frac{5}{9} > \frac{4}{9}$ este mai mare — corect.

Deci $p = \frac{50}{90} = \frac{5}{9}$ — o valoare mai mare decât $\frac{4}{9}$ (exercițiul principal), ceea ce are sens: $12$ are mai mulți divizori sub $10$ decât $6$ .

🔵 Nivel 2 — La fel ca la BACdeschide ▾

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra unităților număr prim.

📋 Barem explicat

2p

Numărul cazurilor posibile

∣Ω∣ = 90

2p

Cifrele prime printre unitati si numărarea cazurilor

{2, 3, 5, 7} \Rightarrow ∣ A ∣ = 9 \cdot 4 = 36

1p

Probabilitatea

p = \frac{36}{90} = \frac{2}{5}

R:

\frac{2}{5}

✍️ Rezolvare (ca la examen)

∣Ω∣ = 90

Numerele prime de o cifră (posibile ca cifră a unităților):

2, 3, 5, 7

— patru valori.

Cifra zecilor poate fi

1

–

9

(nu

0

, pentru că vorbim de numere de două cifre):

9

valori.

∣ A ∣ = 9 \cdot 4 = 36

p = \frac{36}{90} = \frac{2}{5}

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Identific cifrele prime de o singură cifra

Cifrele de la $0$ la $9$ care sunt numere prime: $2, 3, 5, 7$ — exact $4$ cifre. ( $0$ și $1$ nu sunt prime, $4$ , $6$ , $8$ sunt pare și compuse.)

Atenție la diferența față de exercițiul principal: acum condiția e pe cifra UNITĂȚILOR, nu pe cifra ZECILOR!

Pasul 2. Număr cazurile favorabile si calculez probabilitatea

Cifra zecilor: $1$ – $9$ ( $9$ valori, nu $0$ !). Cifra unităților: din ${2, 3, 5, 7}$ ( $4$ valori). Prin principiul înmulțirii:

∣ A ∣ = 9 \cdot 4 = 36 \Rightarrow p = \frac{36}{90} = \frac{2}{5}

Pasul 3. Verificare

$\frac{2}{5} = 0, 4$ — adică $40%$ din numerele de două cifre se termină într-o cifră primă. Intuitiv: $4$ din $10$ cifre ( $0$ – $9$ ) sunt prime, adică $40%$ . Corect!

$\frac{2}{5} = 40%$ din numerele de două cifre se termină într-o cifră primă — verificare logică: $4$ din $10$ cifre posibile ( $0$ – $9$ ) sunt prime, deci $40%$ .

🟠 Nivel 3 — Un pas mai susdeschide ▾

Se aruncă un zar echilibrat de două ori. Calculați probabilitatea ca suma celor două rezultate să fie egală cu

7

.

📋 Barem explicat

2p

Spațiul evenimentelor: perechi (a,b) cu a,b in 1..6

∣Ω∣ = 6 \cdot 6 = 36

2p

Cazuri favorabile cu suma 7

A = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)} \Rightarrow ∣ A ∣ = 6

1p

Probabilitatea

p = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}

R:

\frac{1}{6}

✍️ Rezolvare (ca la examen)

Ω = {(a, b) ∣ a, b \in {1, 2, 3, 4, 5, 6}} \Rightarrow ∣Ω∣ = 36

A = {(a, b) ∣ a + b = 7} = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}

∣ A ∣ = 6

p = \frac{∣ A ∣}{∣Ω∣} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Construiesc spatiul evenimentelor

Aruncăm un zar de două ori. Fiecare aruncare dă un rezultat din ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ . Spațiul evenimentelor este mulțimea tuturor perechilor $(a, b)$ cu $a$ = rezultatul primei aruncări, $b$ = al doilea:

∣Ω∣ = 6 \cdot 6 = 36

Atenție! Cele $36$ perechi sunt distinct ordonate — $(1, 6) \neq = (6, 1)$ .

Pasul 2. Enumer cazurile favorabile sumei 7

Caut toate perechile $(a, b)$ cu $a + b = 7$ , cu $a, b \in {1, \dots, 6}$ :

A = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)} \Rightarrow ∣ A ∣ = 6

Observ că pentru fiecare $a \in {1, \dots, 6}$ există exact un $b = 7 - a \in {1, \dots, 6}$ , deci nu pot lipsi sau repeta cazuri.

Pasul 3. Calculez probabilitatea si verific

p = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}

Are sens? Suma $7$ este suma cea mai probabilă la două zaruri (se poate obține în mai multe moduri decât $2$ , $3$ , $12$ etc.). $\frac{1}{6} \approx 16, 7%$ — cel mai mare procent pentru o sumă fixă. Corect!

🔴 Nivel 4 — Pentru notă maredeschide ▾

O urnă conține

4

bile roșii și

6

bile albe. Se extrag simultan

2

bile. Calculați probabilitatea ca ambele bile să fie de aceeași culoare.

📋 Barem explicat

1p

Cazuri posibile: combinari de 10 bile luate cate 2

∣Ω∣ = C_{10}^{2} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45

1p

Cazuri favorabile ambele rosii

∣ A_{1} ∣ = C_{4}^{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6

1p

Cazuri favorabile ambele albe

∣ A_{2} ∣ = C_{6}^{2} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15

1p

Total cazuri favorabile si probabilitate

∣ A ∣ = 6 + 15 = 21 \Rightarrow p = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}

R:

\frac{7}{15}

✍️ Rezolvare (ca la examen)

∣Ω∣ = C_{10}^{2} = \frac{10 !}{2 ! \cdot 8 !} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45

Evenimentul

A

: ambele roșii (

A_{1}

) sau ambele albe (

A_{2}

) — evenimentele sunt incompatibile:

∣ A_{1} ∣ = C_{4}^{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6

∣ A_{2} ∣ = C_{6}^{2} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15

∣ A ∣ = ∣ A_{1} ∣ + ∣ A_{2} ∣ = 6 + 15 = 21

p = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. De ce folosim combinari si nu produse directe

Extragerem $2$ bile SIMULTAN — asta înseamnă că ordinea nu contează: {roșie, albă} = {albă, roșie}. Deci folosim COMBINĂRI, nu aranjamente.

∣Ω∣ = C_{10}^{2} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45

Pasul 2. Număr cazurile favorabile pe doua sub-cazuri

"Ambele de aceeași culoare" înseamnă: fie ambele roșii, fie ambele albe. Aceste două sub-cazuri sunt incompatibile (nu pot fi ambele simultan), deci adun:

C_{4}^{2} = 6 (ambele rosii)

C_{6}^{2} = 15 (ambele albe)

∣ A ∣ = 6 + 15 = 21

Pasul 3. Calculez si verific

p = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}

Verificare: $P (culori diferite) = 1 - \frac{7}{15} = \frac{8}{15}$ . Cazuri cu culori diferite: $C_{4}^{1} \cdot C_{6}^{1} = 4 \cdot 6 = 24$ , și $\frac{24}{45} = \frac{8}{15}$ . ✓

🟣 Nivel 5 — Poli / Facultatea de matedeschide ▾

O urnă conține

n

bile albe și

2

bile roșii, cu

n \geq 1

. Se extrag simultan

3

bile. Știind că probabilitatea ca cel puțin una din bilele extrase să fie roșie este

\frac{7}{12}

, determinați

n

.

📋 Barem explicat

1p

Evenimentul complementar si relatia

P (cel putin una rosie) = 1 - P (\overline{A}) = \frac{7}{12}

1p

Probabilitatea complementarului si raportul de combinari

P (\overline{A}) = \frac{C _{n}^{3}}{C _{n + 2}^{3}} = \frac{5}{12}

1p

Simplificarea raportului si ecuația obținută

\frac{( n - 1 ) ( n - 2 )}{( n + 2 ) ( n + 1 )} = \frac{5}{12} \Rightarrow 7 n^{2} - 51 n + 14 = 0

1p

Soluția naturală a ecuației

Δ = 4 7^{2} \Rightarrow n = 7 (singura solutie naturala)

R:

$n = 7$

✍️ Rezolvare (ca la examen)

Fie \overline{A} = {nicio bil \overset{a}{˘} ro ș ie} \Rightarrow P (\overline{A}) = \frac{C _{n}^{3}}{C _{n + 2}^{3}}

P (cel pu ț in una ro ș ie) = 1 - \frac{C _{n}^{3}}{C _{n + 2}^{3}} = \frac{7}{12}

\frac{C _{n}^{3}}{C _{n + 2}^{3}} = \frac{5}{12}

\frac{\frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 )}{6}}{\frac{( n + 2 ) ( n + 1 ) n}{6}} = \frac{5}{12} \Rightarrow \frac{( n - 1 ) ( n - 2 )}{( n + 2 ) ( n + 1 )} = \frac{5}{12}

12 (n - 1) (n - 2) = 5 (n + 2) (n + 1)

12 (n^{2} - 3 n + 2) = 5 (n^{2} + 3 n + 2)

12 n^{2} - 36 n + 24 = 5 n^{2} + 15 n + 10

7 n^{2} - 51 n + 14 = 0

Δ = 5 1^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 14 = 2601 - 392 = 2209 = 4 7^{2}

n = \frac{51 \pm 47}{14} \Rightarrow n_{1} = \frac{98}{14} = 7, n_{2} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7} \in / N

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Strategia: lucrez cu complementarul

"Cel puțin o bilă roșie" înseamnă: 1 roșie + 2 albe SAU 2 roșii + 1 albă. Sunt $2$ cazuri de adunat — complicat. E mai simplu prin complementar: $\overline{A}$ = nicio bilă roșie = toate $3$ extrase sunt albe.

P (A) = 1 - P (\overline{A})

Urna are $n + 2$ bile total ( $n$ albe + $2$ roșii). Tragem $3$ . Dacă nicio roșie, atunci toate $3$ sunt albe — trebuie $n \geq 3$ .

Pasul 2. Scriu si simplific ecuația

P (\overline{A}) = \frac{C _{n}^{3}}{C _{n + 2}^{3}} = \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 )}{( n + 2 ) ( n + 1 ) n} = \frac{( n - 1 ) ( n - 2 )}{( n + 2 ) ( n + 1 )}

Din condiție: $1 - P (\overline{A}) = \frac{7}{12}$ , deci $P (\overline{A}) = \frac{5}{12}$ .

\frac{( n - 1 ) ( n - 2 )}{( n + 2 ) ( n + 1 )} = \frac{5}{12} \Rightarrow 12 (n - 1) (n - 2) = 5 (n + 2) (n + 1)

Pasul 3. Rezolv ecuația patratice si verific soluția

12 n^{2} - 36 n + 24 = 5 n^{2} + 15 n + 10 \Rightarrow 7 n^{2} - 51 n + 14 = 0

Δ = 2209 = 4 7^{2} \Rightarrow n = \frac{51 \pm 47}{14} \Rightarrow n = 7 sau n = \frac{2}{7}

Deoarece $n \in N$ , obținem $n = 7$ . Verificare: $P (\overline{A}) = \frac{C _{7}^{3}}{C _{9}^{3}} = \frac{35}{84} = \frac{5}{12}$ ✓

4. Probabilitate clasică