Bacalaureat Vara 2022 — Matematică M_mate-info — I3

Alege nivelul potrivit ție. Dacă exercițiul principal ți-a ieșit din prima, sari direct la 🔴/🟣.

🟢 Nivel 1 — Încălziredeschide ▾

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

2^{x + 1} = 8

📋 Barem explicat

Aduc membrul drept la aceeași bază cu membrul stâng

8 = 2^{3}

Egalitatea puterilor cu aceeași bază implică egalitatea exponenților

2^{x + 1} = 2^{3} \Rightarrow x + 1 = 3

Rezultatul final

x = 2

$x = 2$

✍️ Rezolvare (ca la examen)

Reduc la baza 2, folosind

8 = 2^{3}

2^{x + 1} = 2^{3} (1)

Aplic injectivitatea funcției exponențiale și obțin egalitatea exponenților:

x + 1 = 3

Rezolv ecuația liniară și rezultă:

x = 2

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Strategia — bază comună

Am o egalitate între $2^{x + 1}$ și $8$ . Vreau să aduc și membrul drept la o putere de $2$ , pentru că atunci pot aplica regula: aceleași baze ⇒ aceleași expozanți.

Descompunerea lui $8$ în puteri de $2$ este imediată: $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{3}$ .

Pasul 2. Egalitatea exponenților

Ecuația devine $2^{x + 1} = 2^{3}$ . Aplic injectivitatea funcției exponențiale:

x + 1 = 3

Pasul 3. Rezolv ecuația liniară

Scad $1$ din ambii membri:

x = 2

🔵 Nivel 2 — La fel ca la BACdeschide ▾

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

3^{2 x} - 4 \cdot 3^{x} + 3 = 0

📋 Barem explicat

Observ că ecuația se reduce la un polinom de gradul doi prin substituție

3^{2 x} = (3^{x})^{2}

Notez substituția și impun condiția de pozitivitate

t = 3^{x}, t > 0

Rezolv ecuația de gradul doi cu formula discriminantului

t^{2} - 4 t + 3 = 0 \Rightarrow t \in {1, 3}

Revin la necunoscuta inițială prin aducere la aceeași bază pentru fiecare soluție

3^{x} = 1 \Rightarrow x = 0, 3^{x} = 3 \Rightarrow x = 1

x \in \{0,\,1\}

✍️ Rezolvare (ca la examen)

Notez

t = 3^{x}

cu condiția

t > 0

, deoarece funcția exponențială este strict pozitivă.

t^{2} - 4 t + 3 = 0 (1)

Calculez discriminantul și folosesc formula rădăcinilor:

Δ = 16 - 12 = 4 \Rightarrow t_{1, 2} = \frac{4 \pm 2}{2} \in {1, 3}

Revenim la necunoscuta inițială:

3^{x} = 1 \Rightarrow x = 0, 3^{x} = 3 \Rightarrow x = 1

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Recunosc structura — substituție clasică

Văd $3^{2 x}$ și $3^{x}$ în aceeași ecuație. $3^{2 x}$ este pătratul lui $3^{x}$ , deci dacă notez $t = 3^{x}$ , obțin un polinom de gradul doi în $t$ .

Atenție! După substituție, adaug obligatoriu condiția $t > 0$ , pentru că exponențiala ia DOAR valori pozitive. Dacă obțin ca soluție $t$ negativ, îl resping.

Pasul 2. Rezolv ecuația de gradul doi

Cu substituția, ecuația devine:

t^{2} - 4 t + 3 = 0

Aplic formula discriminantului:

Δ = 16 - 12 = 4, t_{1, 2} = \frac{4 \pm 2}{2}

Obțin $t_{1} = 1$ și $t_{2} = 3$ . Ambele sunt strict pozitive, deci sunt acceptate.

Pasul 3. Revin la necunoscuta inițială

Pentru $t = 1$ : $3^{x} = 1 = 3^{0} \Rightarrow x = 0$ . Pentru $t = 3$ : $3^{x} = 3 = 3^{1} \Rightarrow x = 1$ .

x \in {0, 1}

🟠 Nivel 3 — Un pas mai susdeschide ▾

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

5^{x + 1} + 5^{x - 1} = 26

📋 Barem explicat

Rescriu puterile folosind Formula derivării produsului de puteri cu aceeași bază

5^{x + 1} = 5 \cdot 5^{x}, 5^{x - 1} = \frac{5 ^{x}}{5}

Scot factor comun și obțin o ecuație exponențială simplă

5^{x} (5 + \frac{1}{5}) = 26

Simplific și rezolv

5^{x} \cdot \frac{26}{5} = 26 \Rightarrow 5^{x} = 5 \Rightarrow x = 1

$x = 1$

✍️ Rezolvare (ca la examen)

Aplic Formula derivării produsului de puteri cu aceeași bază:

5^{x + 1} = 5 \cdot 5^{x}, 5^{x - 1} = \frac{5 ^{x}}{5} (1)

Folosesc

(1)

și scoatem

5^{x}

factor comun în membrul stâng:

5^{x} \cdot 5 + 5^{x} \cdot \frac{1}{5} = 5^{x} (5 + \frac{1}{5}) = 5^{x} \cdot \frac{26}{5}

Egalez cu membrul drept și obțin ecuația:

5^{x} \cdot \frac{26}{5} = 26 \Rightarrow 5^{x} = 5 \Rightarrow x = 1

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Observ că e aceeași bază, dar exponenți diferiți

Ambele puteri au baza $5$ , dar exponenții sunt $x + 1$ și $x - 1$ — adică diferă de $x$ cu $\pm 1$ . Strategia: folosesc regulile puterilor ca să separ constanta de termenul cu $x$ , apoi scot $5^{x}$ factor comun.

După scoaterea factorului comun, îmi rămâne o ecuație de tipul $5^{x} \cdot constant \overset{a}{˘} = 26$ , care se rezolvă în doi pași.

Pasul 2. Separ constanta din exponenți

Folosesc $a^{m + n} = a^{m} \cdot a^{n}$ și analog pentru scădere:

5^{x + 1} = 5 \cdot 5^{x}, 5^{x - 1} = \frac{5 ^{x}}{5}

Pasul 3. Scot factor comun și rezolv

Factorul comun este $5^{x}$ . Aduc și constantele la numitor comun:

5^{x} (5 + \frac{1}{5}) = 5^{x} \cdot \frac{25 + 1}{5} = 5^{x} \cdot \frac{26}{5} = 26

Împart la $\frac{26}{5}$ (adică înmulțesc cu $\frac{5}{26}$ ):

5^{x} = 5 \Rightarrow x = 1

🔴 Nivel 4 — Pentru notă maredeschide ▾

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

9^{x} - 4 \cdot 3^{x + 1} + 27 = 0

📋 Barem explicat

Aduc toate puterile la aceeași bază aplicând regulile puterilor

9^{x} = 3^{2 x}, 3^{x + 1} = 3 \cdot 3^{x}

Rescriu ecuația cu baza comună

3^{2 x} - 12 \cdot 3^{x} + 27 = 0

Aplic substituția cu condiția de pozitivitate

t = 3^{x} > 0 \Rightarrow t^{2} - 12 t + 27 = 0

Rezolv ecuația de gradul doi prin formula discriminantului

Δ = 144 - 108 = 36 \Rightarrow t_{1, 2} = \frac{12 \pm 6}{2} \in {3, 9}

Verific condiția și revin la necunoscuta inițială pentru ambele cazuri

3^{x} = 3 \Rightarrow x = 1, 3^{x} = 9 \Rightarrow x = 2

x \in \{1,\,2\}

✍️ Rezolvare (ca la examen)

Aplic regulile puterilor și folosesc

9 = 3^{2}

pentru a aduce totul la baza comună

3

9^{x} = (3^{2})^{x} = 3^{2 x}, 3^{x + 1} = 3 \cdot 3^{x} (1)

Folosesc

(1)

și rescriem ecuația:

3^{2 x} - 4 \cdot 3 \cdot 3^{x} + 27 = 3^{2 x} - 12 \cdot 3^{x} + 27 = 0 (2)

Aplic substituția

t = 3^{x}

cu condiția obligatorie

t > 0

, deoarece funcția exponențială este strict pozitivă.

t^{2} - 12 t + 27 = 0 (3)

Calculez discriminantul și rădăcinile:

Δ = 144 - 108 = 36 \Rightarrow t_{1, 2} = \frac{12 \pm 6}{2}, t_{1} = 3, t_{2} = 9

Ambele valori sunt strict pozitive, deci ambele sunt acceptate. Revenim la necunoscuta inițială:

3^{x} = 3 \Rightarrow x = 1, 3^{x} = 9 = 3^{2} \Rightarrow x = 2

Verific fiecare soluție în ecuația inițială (pentru

x = 1

9 - 36 + 27 = 0

✓, pentru

x = 2

81 - 108 + 27 = 0

✓).

x \in {1, 2}

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Povestea — cum reduc la o ecuație polinomială?

Am trei termeni: $9^{x}$ , $3^{x + 1}$ și o constantă. Ideea: dacă aduc totul la baza $3$ , primul termen devine $3^{2 x} = (3^{x})^{2}$ , al doilea devine $3 \cdot 3^{x}$ . Deci ecuația se transformă în ceva de forma $(3^{x})^{2} - 12 \cdot 3^{x} + 27 = 0$ — un polinom de gradul doi în $3^{x}$ .

Odată ajuns aici, substituție clasică: $t = 3^{x}$ , cu condiția $t > 0$ , și rezolv ecuația pătratică. La final, revin la $x$ .

Pasul 2. Aduc totul la baza comună

Primul termen: $9 = 3^{2} \Rightarrow 9^{x} = (3^{2})^{x} = 3^{2 x}$ .

Al doilea termen: $3^{x + 1} = 3 \cdot 3^{x}$ (am scos constanta din exponent).

3^{2 x} - 4 \cdot 3 \cdot 3^{x} + 27 = 0 ⟺ 3^{2 x} - 12 \cdot 3^{x} + 27 = 0

Pasul 3. Substituție și condiția de pozitivitate

Notez $t = 3^{x}$ . Atenție! Este obligatoriu să specific $t > 0$ — altfel risc să accept soluții inexistente. Ecuația devine:

t^{2} - 12 t + 27 = 0, t > 0

Pasul 4. Rezolv ecuația de gradul doi

Discriminantul și rădăcinile:

Δ = 144 - 108 = 36 > 0 \Rightarrow t_{1, 2} = \frac{12 \pm 6}{2}

Obțin $t_{1} = 3$ și $t_{2} = 9$ . Ambele sunt pozitive $\Rightarrow$ ambele acceptate.

Pasul 5. Revin la necunoscuta originală și verific

Din $t = 3$ : $3^{x} = 3 \Rightarrow x = 1$ . Din $t = 9$ : $3^{x} = 9 = 3^{2} \Rightarrow x = 2$ .

Verificare rapidă pentru $x = 1$ : $9 - 12 \cdot 3 + 27 = 9 - 36 + 27 = 0$ . ✓ Pentru $x = 2$ : $81 - 12 \cdot 9 + 27 = 81 - 108 + 27 = 0$ . ✓

x \in {1, 2}

🟣 Nivel 5 — Poli / Facultatea de matedeschide ▾

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

3^{x} + 4^{x} = 5^{x}

📋 Barem explicat

Împart ambii membri la o putere strict pozitivă pentru a reduce la o ecuație cu o singură expresie

(\frac{3}{5})^{x} + (\frac{4}{5})^{x} = 1

Definesc o funcție auxiliară și analizez monotonia ei

g (x) = (\frac{3}{5})^{x} + (\frac{4}{5})^{x}

Argumentez că funcția auxiliară este strict descrescătoare (sumă de două exponențiale cu bază subunitară)

0 < \frac{3}{5}, \frac{4}{5} < 1 \Rightarrow g strict descresc \overset{a}{˘} toare pe R

Găsesc valoarea naturală care verifică ecuația redusă

g (2) = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = \frac{25}{25} = 1

Conclud unicitatea soluției prin injectivitatea strict descrescătoarei

g strict descresc \overset{a}{˘} toare \Rightarrow g (x) = 1 are unica solu ț ie x = 2

$x = 2$

✍️ Rezolvare (ca la examen)

Aplic o strategie de monotonie: împart ambii membri prin

5^{x}

(strict pozitiv pentru orice

x

), ceea ce păstrează echivalența ecuației.

\frac{3 ^{x}}{5 ^{x}} + \frac{4 ^{x}}{5 ^{x}} = 1 \Rightarrow (\frac{3}{5})^{x} + (\frac{4}{5})^{x} = 1 (1)

Folosesc

(1)

și definim funcția auxiliară:

g : R \to R, g (x) = (\frac{3}{5})^{x} + (\frac{4}{5})^{x}

Suma a două funcții strict descrescătoare este strict descrescătoare.

g strict descresc \overset{a}{˘} toare pe R (2)

Justific această afirmație prin tabelul de variație al funcției

g

, calculând derivata.

g^{'} (x) = (\frac{3}{5})^{x} ln \frac{3}{5} + (\frac{4}{5})^{x} ln \frac{4}{5} < 0, \forall x \in R

Cum

ln \frac{3}{5} < 0

și

ln \frac{4}{5} < 0

, derivata este strict negativă. Tabelul de variație:

x g^{'} (x) g (x) - \infty + \infty - ↘ + \infty 0

Tabelul confirmă:

g

este strict descrescătoare pe

R

, deci ecuația

g (x) = 1

are cel mult o soluție.

Observ că

x = 2

este o soluție evidentă — verific prin calcul direct folosind dezvoltarea pătratelor:

g (2) = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = \frac{25}{25} = 1 (3)

Din

(3)

am deja una,

x = 2

, deci aceasta este unică soluție a ecuației inițiale.

x = 2

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Povestea problemei — de ce monotonia?

La prima vedere, $3^{x} + 4^{x} = 5^{x}$ pare un monstru: trei baze diferite, nicio legătură evidentă între ele. Încerc aducerea la aceeași bază — imposibil, $3, 4, 5$ nu sunt puteri ale aceleiași baze naturale. Încerc substituții — nu funcționează, puterile nu sunt compatibile.

Ce rămâne? O metodă mai subtilă: transform ecuația într-una cu o SINGURĂ expresie, nu trei. Apoi arăt că acea expresie este strict monotonă — deci injectivă — deci ecuația are cel mult o soluție. Dacă găsesc una prin inspecție (de obicei un număr natural mic), aia e unică.

Pasul 2. Transformarea cheie — împărțirea la cea mai mare putere

Împart ambii membri prin $5^{x}$ . Atenție! $5^{x} > 0$ pentru orice $x$ real, deci împărțirea este validă și păstrează echivalența:

(\frac{3}{5})^{x} + (\frac{4}{5})^{x} = 1

Acum ecuația are în membrul drept o CONSTANTĂ, $1$ . Asta simplifică totul: trebuie să demonstrez că funcția din stânga este injectivă.

Pasul 3. Monotonia — cheia unicității

Definesc $g (x) = (\frac{3}{5})^{x} + (\frac{4}{5})^{x}$ . Observ că ambele baze sunt subunitare: $\frac{3}{5} = 0, 6 < 1$ și $\frac{4}{5} = 0, 8 < 1$ .

O regulă de bază despre exponențiale: dacă baza este în $(0, 1)$ , funcția este strict descrescătoare. Suma a două funcții strict descrescătoare rămâne strict descrescătoare. Deci $g$ este strict descrescătoare pe $R$ , deci injectivă.

Pasul 4. Găsesc o soluție prin inspecție

Caut un număr natural mic care să verifice $g (x) = 1$ . Experiment mental: încerc $x = 2$ , inspirat de identitatea pitagoreică $3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$ .

g (2) = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = \frac{25}{25} = 1 ✓

Excelent! $x = 2$ verifică ecuația. Aceasta e un „easter egg" al problemei — apare datorită tripletului pitagoreic $(3, 4, 5)$ .

Pasul 5. Conclud unicitatea prin monotonie

Am arătat două lucruri: $g$ este strict descrescătoare (deci injectivă) și $g (2) = 1$ . Dacă ar mai exista un $x^{'} \neq = 2$ cu $g (x^{'}) = 1$ , atunci $g (2) = g (x^{'})$ , ceea ce contrazice injectivitatea. Deci $x = 2$ este UNICĂ soluție.

Are sens? Verific intuitiv: pentru $x$ mic (apropiat de $0$ ), $g (x) \approx 2$ . Pentru $x$ foarte mare, $g (x) \to 0$ . Deci $g$ descrește de la $2$ la $0$ și traversează valoarea $1$ exact o dată — la $x = 2$ . ✓

x = 2 (unica solu ț ie real \overset{a}{˘})

3. Ecuație exponențială