Bacalaureat Vara 2022 — Matematică M_mate-info — I2

Alege nivelul potrivit ție. Dacă exercițiul principal ți-a ieșit din prima, sari direct la 🔴/🟣.

🟢 Nivel 1 — Încălziredeschide ▾

Se consideră funcțiile

f, g : R \to R

f (x) = 2 x + 1

și

g (x) = 3 x - 2

. Calculați

(f \circ g) (1)

📋 Barem explicat

Calculez valoarea funcției interioare

g (1) = 3 \cdot 1 - 2 = 1

Aplic funcția exterioară rezultatului

f (g (1)) = f (1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3

Rezultatul final

(f \circ g) (1) = 3

(f \circ g)(1) = 3

✍️ Rezolvare (ca la examen)

Aplic definiția compunerii:

g (1) = 3 \cdot 1 - 2 = 1 (1)

Folosesc

(1)

și obțin:

f (g (1)) = f (1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3

Deci rezultă:

(f \circ g) (1) = 3

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Ce calculăm mai întâi?

La compunere mergem întotdeauna din interior spre exterior. În $(f \circ g) (1)$ , funcția interioară este $g$ , cea exterioară $f$ . Deci întâi calculez $g (1)$ , apoi aplic $f$ pe rezultat.

Atenție să nu inversați ordinea — $(f \circ g) \neq = (g \circ f)$ în general. Ordinea compunerii contează!

Pasul 2. Calculez funcția interioară

Înlocuiesc $x = 1$ în formula lui $g$ :

g (1) = 3 \cdot 1 - 2 = 1

Pasul 3. Aplic funcția exterioară

Iau rezultatul $1$ și îl bag în $f$ :

f (1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3

Deci $(f \circ g) (1) = 3$ .

🔵 Nivel 2 — La fel ca la BACdeschide ▾

Se consideră funcțiile

f, g : R \to R

f (x) = x + 2

și

g (x) = x^{2} - 1

. Determinați formula funcției

f \circ g

și calculați

(f \circ g) (2)

📋 Barem explicat

Aplic definiția compunerii ca substituție simbolică

(f \circ g) (x) = f (g (x)) = f (x^{2} - 1)

Înlocuiesc argumentul în formula funcției exterioare

f (x^{2} - 1) = (x^{2} - 1) + 2 = x^{2} + 1

Calculez valoarea în punctul cerut

(f \circ g) (2) = 2^{2} + 1 = 5

(f \circ g)(x) = x^2 + 1$; $(f \circ g)(2) = 5

✍️ Rezolvare (ca la examen)

Aplic definiția compunerii simbolic: înlocuiesc argumentul funcției

f

cu expresia lui

g (x)

(f \circ g) (x) = f (g (x)) = f (x^{2} - 1) (1)

Din formula

f (t) = t + 2

, folosesc

t = x^{2} - 1

și obțin:

f (x^{2} - 1) = (x^{2} - 1) + 2 = x^{2} + 1 (2)

Deci formula compusei este

(f \circ g) (x) = x^{2} + 1

. Calculez valoarea în

x = 2

(f \circ g) (2) = 2^{2} + 1 = 4 + 1 = 5

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Diferența: formulă simbolică vs. valoare numerică

Exercițiul cere DOUĂ lucruri: mai întâi formula lui $f \circ g$ (o expresie care depinde de $x$ ), apoi valoarea ei într-un punct. Formula o obțin substituind simbolic — adică înlocuiesc $x$ din $f$ cu toată expresia lui $g$ .

O dată ce am formula, calculul în punct e trivial. Avantajul: formula e reutilizabilă — pot calcula $(f \circ g) (k)$ pentru orice alt $k$ fără să refac toată compunerea.

Pasul 2. Construiesc formula compusei

În formula $f (x) = x + 2$ , înlocuiesc argumentul cu $g (x) = x^{2} - 1$ :

(f \circ g) (x) = f (g (x)) = f (x^{2} - 1) = (x^{2} - 1) + 2 = x^{2} + 1

Pasul 3. Evaluez în punctul cerut

Folosesc formula pe care tocmai am obținut-o:

(f \circ g) (2) = 2^{2} + 1 = 5

🟠 Nivel 3 — Un pas mai susdeschide ▾

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = 2 x + a

, unde

a

este un număr real. Determinați

a

știind că

(f \circ f) (1) = 9

📋 Barem explicat

Calculez valoarea interioară în funcție de parametru

f (1) = 2 + a

Aplic funcția pe rezultat

f (f (1)) = f (2 + a) = 2 (2 + a) + a = 4 + 3 a

Folosesc condiția dată și obțin valoarea parametrului

4 + 3 a = 9 \Rightarrow a = \frac{5}{3}

$a = 2$

✍️ Rezolvare (ca la examen)

Calculez din interior:

f (1) = 2 \cdot 1 + a = 2 + a (1)

Folosesc

(1)

și aplic

f

pe rezultat, distribuind atent:

f (2 + a) = 2 (2 + a) + a = 4 + 2 a + a = 4 + 3 a (2)

Din condiția problemei și

(2)

rezultă ecuația în

a

4 + 3 a = 9 \Rightarrow 3 a = 5 \Rightarrow a = \frac{5}{3}

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Strategia e aceeași ca la principal

Acest exercițiu e aproape identic cu cel din subiect: aceeași funcție liniară cu parametru, aceeași condiție de tip $(f \circ f) (punct) = valoare$ . Diferența e că aici punctul e $1$ , nu $0$ , deci $f (1)$ nu va fi doar $a$ , ci $2 + a$ .

Altfel, pașii sunt identici: calculez interiorul, aplic funcția pe rezultat, egalez cu condiția.

Pasul 2. Calculez interiorul și apoi exteriorul

Interiorul: $f (1) = 2 + a$ . Apoi aplic $f$ pe această expresie cu parametru:

f (2 + a) = 2 \cdot (2 + a) + a = 4 + 2 a + a = 4 + 3 a

Atenție la distributivitate — $2 (2 + a)$ înseamnă $4 + 2 a$ , NU $4 + a$ . Greșeala e frecventă.

Pasul 3. Folosesc condiția și obțin parametrul

Am obținut $(f \circ f) (1) = 4 + 3 a$ și problema cere această valoare să fie $9$ :

4 + 3 a = 9 \Rightarrow a = \frac{5}{3}

🔴 Nivel 4 — Pentru notă maredeschide ▾

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = a x + b

, cu

a, b \in R

. Determinați valorile lui

a

și

b

știind că

(f \circ f) (x) = 4 x + 3

pentru orice număr real

x

📋 Barem explicat

Scriu formula compusei ca funcție simbolică

(f \circ f) (x) = a (a x + b) + b = a^{2} x + ab + b

Identific coeficienții după regula egalității polinoamelor

a^{2} = 4, ab + b = 3

Rezolv ecuația pătratică pentru coeficient și obțin două cazuri

a^{2} = 4 \Rightarrow a = 2 sau a = - 2

Cazul coeficientului pozitiv — determin termenul liber

a = 2 : b (a + 1) = 3 \Rightarrow 3 b = 3 \Rightarrow b = 1

Cazul coeficientului negativ — determin termenul liber și verific cele două soluții

a = - 2 : - b = 3 \Rightarrow b = - 3

(a,\,b) \in \{(2,\,1),\,(-2,\,-3)\}

✍️ Rezolvare (ca la examen)

Aplic definiția compunerii simbolic și calculez

(f \circ f) (x)

ca funcție în

x

(f \circ f) (x) = f (f (x)) = f (a x + b) = a (a x + b) + b = a^{2} x + ab + b (1)

deci identificăm coeficienții:

{a^{2} = 4 ab + b = 3 (2)

Atenție să nu pierdem cazul negativ.

Cazul a = 2 : 2 b + b = 3 \Rightarrow 3 b = 3 \Rightarrow b = 1

Cazul a = - 2 : - 2 b + b = 3 \Rightarrow - b = 3 \Rightarrow b = - 3

Verific ambele soluții folosind formula obținută în

(1)

— cele două perechi satisfac condiția inițială.

(f \circ f) (x) = 4 x + 3 \Rightarrow (a, b) \in {(2, 1), (- 2, - 3)}

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Povestea — de ce un sistem, nu o singură ecuație?

Ce ne cere problema? Să găsim $a$ și $b$ din egalitatea $(f \circ f) (x) = 4 x + 3$ VALABILĂ PENTRU ORICE $x$ . Asta e cheia — „pentru orice $x$ ". Dacă ar fi doar într-un punct, ar fi o singură ecuație cu două necunoscute (nedeterminat). Dar „pentru orice $x$ " schimbă totul.

Când două polinoame de același grad sunt egale peste tot, coeficienții lor sunt egali, grad cu grad. Deci din egalitatea de funcții voi extrage un SISTEM de două ecuații — una pentru coeficientul lui $x$ , una pentru termenul liber. Două ecuații, două necunoscute: se poate rezolvă.

Pasul 2. Scriu formula simbolică a compusei

Aplic definiția compunerii — substituție simbolică cu grijă la paranteze:

(f \circ f) (x) = f (f (x)) = f (a x + b) = a (a x + b) + b = a^{2} x + ab + b

Observăm că forma finală e tot liniară în $x$ — coeficient $a^{2}$ , termen liber $ab + b$ . Asta e întotdeauna adevărat pentru compunerea a două funcții liniare.

Pasul 3. Identific coeficienții și obțin sistemul

Egalitatea cerută $a^{2} x + (ab + b) = 4 x + 3$ valabilă pentru orice $x$ se traduce prin coeficienți egali:

{a^{2} = 4 ab + b = 3

Din prima ecuație, $a^{2} = 4$ , obținem $a = 2$ SAU $a = - 2$ . Atenție! Această ecuație are DOUĂ soluții reale. Dacă scriem doar $a = 2$ , pierdem jumătate de răspuns.

Pasul 4. Analizez pe rând cele două cazuri

Cazul $a = 2$ : înlocuiesc în a doua ecuație, $b (a + 1) = 3$ , deci $3 b = 3$ , adică $b = 1$ . Prima soluție: $(a, b) = (2, 1)$ .

a = 2 \Rightarrow 3 b = 3 \Rightarrow b = 1

Cazul $a = - 2$ : înlocuiesc analog, $b (- 2 + 1) = 3$ , deci $- b = 3$ , adică $b = - 3$ . A doua soluție: $(a, b) = (- 2, - 3)$ .

a = - 2 \Rightarrow - b = 3 \Rightarrow b = - 3

Pasul 5. Verific ambele soluții prin substituție

Verific prima soluție, $f (x) = 2 x + 1$ : $(f \circ f) (x) = 2 (2 x + 1) + 1 = 4 x + 3$ . ✓

Verific a doua soluție, $f (x) = - 2 x - 3$ : $(f \circ f) (x) = - 2 (- 2 x - 3) - 3 = 4 x + 6 - 3 = 4 x + 3$ . ✓

Ambele perechi sunt soluții corecte. Răspunsul complet: $(a, b) \in {(2, 1), (- 2, - 3)}$ .

🟣 Nivel 5 — Poli / Facultatea de matedeschide ▾

Se consideră funcția

f : (- 1, \infty) \to R

f (x) = \frac{x}{x + 1}

. Definim șirul de funcții

f_{1} = f

și

f_{n + 1} = f \circ f_{n}

pentru orice

n \geq 1

. Determinați formula lui

f_{n} (x)

pentru

n \geq 1

și calculați

f_{10} (1)

📋 Barem explicat

Calculez primele două iterații pentru a observa un tipar

f_{1} (x) = \frac{x}{x + 1}, f_{2} (x) = \frac{x}{2 x + 1}

Verific tiparul pe a treia iterație și formulez conjectura

f_{3} (x) = \frac{x}{3 x + 1} \Rightarrow conjectur \overset{a}{˘} : f_{n} (x) = \frac{x}{n x + 1}

Demonstrez prin inducție pasul trecerii de la rangul k la k+1

f_{k + 1} (x) = f (f_{k} (x)) = \frac{f _{k} ( x )}{f _{k} ( x ) + 1}

Simplific raportul și obțin formula generală

f_{k + 1} (x) = \frac{x / ( k x + 1 )}{x / ( k x + 1 ) + 1} = \frac{x}{( k + 1 ) x + 1}

Aplic formula pentru valoarea numerică cerută

f_{10} (1) = \frac{1}{10 \cdot 1 + 1} = \frac{1}{11}

f_n(x) = \dfrac{x}{nx + 1}$; $f_{10}(1) = \dfrac{1}{11}

✍️ Rezolvare (ca la examen)

Calculez primele iterații,

f_{1} (x) = \frac{x}{x + 1}

f_{2} (x) = f (f_{1} (x)) = \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} + 1} = \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x + ( x + 1 )}{x + 1}} = \frac{x}{2 x + 1} (1)

Folosesc

(1)

și calculez

f_{3}

f_{3} (x) = f (f_{2} (x)) = \frac{\frac{x}{2 x + 1}}{\frac{x}{2 x + 1} + 1} = \frac{x}{3 x + 1} (2)

Formulez conjectura și demonstrez prin inducție.

P (n) : f_{n} (x) = \frac{x}{n x + 1}, \forall n \geq 1

Baza inducției:

P (1)

este adevărată deoarece

f_{1} (x) = \frac{x}{1 \cdot x + 1}

, conform datelor problemei.

Pasul inductiv: presupunem

P (k)

adevărat și demonstrez

P (k + 1)

. Aplic definiția:

f_{k + 1} (x) = f (f_{k} (x)) = \frac{f _{k} ( x )}{f _{k} ( x ) + 1} = \frac{\frac{x}{k x + 1}}{\frac{x}{k x + 1} + 1}

Simplific fracția etajată: înmulțesc numărătorul și numitorul cu

(k x + 1)

și obțin:

f_{k + 1} (x) = \frac{x}{x + ( k x + 1 )} = \frac{x}{( k + 1 ) x + 1}

Calculez valoarea cerută, aplicând formula:

f_{10} (1) = \frac{1}{10 \cdot 1 + 1} = \frac{1}{11}

👨‍🏫 Pas cu pas (didactic)

Pasul 1. Ce ne cere problema și care e planul?

Avem o funcție simplă, $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ , și ni se cere să o compunem cu ea însăși de mai multe ori — $f_{n} = f \circ f \circ \dots \circ f$ ( $n$ ori). Calcularea directă pentru $n = 10$ ar fi un coșmar: 10 compuneri consecutive, fiecare cu fracții etajate.

Strategia corectă la problemele de tip iterație: calculez primele 2-3 cazuri mici, observ tiparul, formulez o conjectură, și o demonstrez RIGUROS prin inducție matematică. Apoi pot evalua formula generală în orice punct, fără calcule repetate.

Pasul 2. Calculez primele iterații și observ tiparul

$f_{1} (x) = \frac{x}{x + 1}$ . Calculez $f_{2} (x) = f (f_{1} (x))$ , atenție la fracția etajată:

f_{2} (x) = \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} + 1} = \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x + x + 1}{x + 1}} = \frac{x}{2 x + 1}

Repet pentru $f_{3}$ :

f_{3} (x) = \frac{\frac{x}{2 x + 1}}{\frac{x}{2 x + 1} + 1} = \frac{x}{3 x + 1}

Observăm tiparul: numitorul are coeficientul lui $x$ egal cu indicele iterației: $1, 2, 3$ . Conjectura naturală: $f_{n} (x) = \frac{x}{n x + 1}$ .

Pasul 3. Formulez conjectura și pornesc inducția

Vreau să arăt că $P (n) : f_{n} (x) = \frac{x}{n x + 1}$ este adevărată pentru orice $n \geq 1$ . Aplic principiul inducției matematice — metoda standard pentru „formulă care depinde de un natural".

Baza inducției, $P (1)$ : trebuie să verific că $f_{1} (x) = \frac{x}{1 \cdot x + 1}$ . Dar $f_{1} = f$ prin definiție, iar $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ . ✓ Deci $P (1)$ e adevărată.

Pasul 4. Pasul inductiv — cheia problemei

Presupun că $P (k)$ e adevărată, adică $f_{k} (x) = \frac{x}{k x + 1}$ . Vreau să demonstrez $P (k + 1)$ , adică $f_{k + 1} (x) = \frac{x}{( k + 1 ) x + 1}$ .

Plec de la definiție și substituie ipoteza inductivă:

f_{k + 1} (x) = f (f_{k} (x)) = \frac{f _{k} ( x )}{f _{k} ( x ) + 1} = \frac{\frac{x}{k x + 1}}{\frac{x}{k x + 1} + 1}

Simplific fracția etajată înmulțind sus și jos cu $(k x + 1)$ :

f_{k + 1} (x) = \frac{x}{x + ( k x + 1 )} = \frac{x}{( k + 1 ) x + 1}

Exact forma pe care o voiam — am obținut $P (k + 1)$ . Prin principiul inducției, $P (n)$ e adevărată pentru orice $n \geq 1$ .

Pasul 5. Aplic formula pentru valoarea numerică

Acum calculul este banal. Folosesc formula demonstrată cu $n = 10$ și $x = 1$ :

f_{10} (1) = \frac{1}{10 \cdot 1 + 1} = \frac{1}{11}

Are sens? Funcția $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ trimite numere pozitive în numere din $(0, 1)$ tot mai aproape de $0$ pe măsură ce iterăm. Deci după 10 iterații, plecând de la $1$ , ar trebui să obținem ceva mic — și într-adevăr $\frac{1}{11} \approx 0, 09$ . Rezultatul e coerent cu intuiția.

2. Compunerea funcțiilor