1. Operații cu radicali

Exact ca la exercițiul principal: avem $-3\sqrt{5}$ în exterior și o paranteză $3(\sqrt{5}-1)$. Anticipez că după distribuire va apărea $+3\sqrt{5}$ care se va anula cu $-3\sqrt{5}$, iar rezultatul va fi un număr întreg.

Planul e identic cu cel de la principal: desfacem paranteza, grupăm termenii asemenea, reducem și concluzionăm. Niciun truc suplimentar.

Atenție să înmulțesc și cu $-1$ — e greșeala clasică:

Pun totul la un loc și reduc termenii cu $\sqrt{5}$:

Văd trei bucăți în expresie: un pătrat $(2+\sqrt{3}{)}^2$, o paranteză înmulțită cu $-2$, și un $-4$ izolat. Planul e limpede: dezvolt pătratul, desfac paranteza, adun termenii asemenea la final.

Observație importantă: pentru că apare $2(2+\sqrt{3})$, există tentația să facem o substituție — $t=2+\sqrt{3}$ — și să obținem $t^2-2t-4$. E o idee bună, dar aici rezolvarea directă e la fel de rapidă, deci mergem pe drumul clasic.

Aplic formula $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ cu $a=2$, $b=\sqrt{3}$:

Notez că $(\sqrt{3}{)}^2=3$, nu $\sqrt{3}$ — aici greșește toată lumea grăbită.

Distribui $-2$ în paranteză, atent la semnul minus:

Scriu totul împreună și separ întregii de cei cu $\sqrt{3}$:

Deci răspunsul este $E=2\sqrt{3}-1$.

Ce vedem? Două fracții cu numitori $\sqrt{5}+1$ și $\sqrt{5}-1$. Aceștia sunt CONJUGAȚI — adică aceleași numere dar cu semn opus la radical. Ce ne dă treaba asta? Când îi înmulțim, obținem o diferență de pătrate, care ELIMINĂ radicalul.

Deci strategia e clară: aduc fracțiile la numitor comun folosind exact produsul lor, pentru că oricum va trebui să raționalizez.

Aplic formula diferenței de pătrate $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ cu $a=\sqrt{5}$, $b=1$:

Excelent — numitorul a devenit un întreg, $4$. Radicalul a dispărut exact cum am anticipat.

Aduc fiecare fracție la numitor $4$: prima cu $\sqrt{5}-1$ sus, a doua cu $\sqrt{5}+1$ sus:

Cei doi $-1$ și $+1$ s-au redus reciproc — exact ca la exercițiul principal. Rezultatul este $E=\frac{\sqrt{5}}{2}$.

Ce vedem? Un radical peste un radical. Un „radical dublu". Nu avem formulă directă să calculăm $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$. Deci trebuie să-l TRANSFORMĂM într-o formă pe care O ȘTIM să calculăm — un pătrat perfect.

Întrebare: când este $A+B\sqrt{n}$ un pătrat perfect? Răspuns: când există numerele $a$ și $b$ astfel încât $A+B\sqrt{n}=(a+b\sqrt{n}{)}^2=a^2+n{b}^2+2ab\sqrt{n}$. Așa că trebuie să potrivesc: $a^2+n{b}^2=A$ și $2ab=B$.

Aici $n=3$, $A=7$, $B=4$. Caut $a$ și $b$ cu:

Din a doua ecuație $ab=2$. Încerc cel mai simplu caz: $b=1$, $a=2$. Verific prima ecuație: $4+3=7$. ✓ Deci:

Analog, pentru $7-4\sqrt{3}$, semnul se schimbă DOAR la $2ab$, nu la $a^2+3b^2$:

Acum aplic $\sqrt{x^2}=|x|$. Capcana clasică: mulți ar scrie direct $\sqrt{(2-\sqrt{3}{)}^2}=2-\sqrt{3}$. Dar asta funcționează DOAR dacă $2-\sqrt{3}>0$. Verific!

Este $2>\sqrt{3}$? Ridic la pătrat: $4>3$. Da ✓. Deci $2-\sqrt{3}>0$ și modulul nu schimbă semnul:

Înlocuiesc în expresia inițială:

Are sens? Să verific numeric: $\sqrt{3}\approx 1,732$, deci $7+4\sqrt{3}\approx 13,93$, iar $\sqrt{13,93}\approx 3,73\approx 2+1,73$. ✓ Egalitatea se confirmă și numeric, deci demonstrația e corectă.

Vedem o sumă de doi radicali cubici cu expresii urâte sub ei: $20\pm 14\sqrt{2}$. Nu putem calcula direct fiecare radical — ar trebui denestingul cubic, care e mult mai greu decât cel pătratic. Deci avem nevoie de un TRUC.

Trucul e clasic la problemele de tip concurs: notez întreaga sumă cu $x$ și ridic la cub. Dacă după ridicare obțin o ecuație polinomială simplă în $x$, o rezolv și termin problema. Întrebarea e DACĂ funcționează aici. Răspunsul: DA — pentru că $a\cdot b$ iese un număr rațional frumos, iar formula cubului, $(a+b{)}^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$, va da o ecuație în $x$.

Notez $a=\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}$, $b=\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}$. Calculez pe rând:

Radicalii dubli s-au anulat reciproc — exact ca la exercițiul principal! Acum $ab$:

Atenție! Aici am folosit două lucruri: că $\sqrt[3]{u}\sqrt[3]{v}=\sqrt[3]{uv}$, și formula diferenței de pătrate $(u)(v)=u^2-v^2$ cu $f(x)=20$, $g(x)=14\sqrt{2}$: $400-392=8$. Absolut crucial că $ab$ iese întreg — altfel metoda nu funcționa.

Fie $x=a+b$. Ridic la cub folosind forma DEȘTEAPTĂ a formulei $(a+b{)}^3$:

De ce forma asta și nu cea cu $3a^{2}b+3a{b}^2$? Pentru că aici, în membrul drept, apare din nou $(a+b)$, adică $x$. Asta e șmecheria — obțin o ecuație în $x$:

Rearanjez:

Teorema rădăcinii raționale îmi spune: dacă ecuația are rădăcini întregi, ele se află printre divizorii lui $40$. Divizorii sunt $\pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm 5,\pm 8,\pm 10,\pm 20,\pm 40$. Testez cea mai „frumoasă" candidată — $x=4$:

Super — $x=4$ e rădăcină. Deci polinomul se factorizează cu $(x-4)$. Fac împărțirea (schema lui Horner sau identificare de coeficienți):

Întrebare critică: de unde știu că $x=4$ e SINGURĂ posibilitate? Ecuația mai are factorul $x^2+4x+10$ — trebuie să arăt că ACESTA nu are rădăcini reale. Calculez discriminantul:

Cum $\Delta <0$, trinomul $x^2+4x+10$ nu are rădăcini reale (deci e strict pozitiv pe toți reali, pentru că are coeficient dominant $+1$). În consecință, unică soluție reală a ecuației $x^3-6x-40=0$ este $x=4$.

Cum $x=a+b$ e suma a două numere reale, $x$ este real $\Rightarrow$ $x=4$, adică exact egalitatea cerută. Problema este rezolvată.